Variazione quadratica — ingegnerismo.it

La variazione quadratica misura l’accumulo dei quadrati degli incrementi di una traiettoria. È una grandezza centrale nel calcolo stocastico perché il processo di Wiener ha variazione quadratica non nulla, a differenza delle funzioni regolari del calcolo classico.

Dato un processo $X_t$ su $[0,T]$ e una partizione:

0=t_0<t_1<\cdots<t_n=T

si considera la somma:

\sum_{k=0}^{n-1}\left(X_{t_{k+1}}-X_{t_k}\right)^2

Se, quando il passo massimo della partizione tende a zero, questa somma converge a un limite, tale limite è la variazione quadratica di $X$ su $[0,T]$ e si indica con:

[X]_T

Caso del moto browniano

Per il moto browniano standard $W_t$ vale:

[W]_t=t

Questa identità è il motivo operativo per cui nel calcolo di Itô si usa la regola simbolica:

(dW_t)^2=dt

Il punto non è che $dW_t$ sia un differenziale ordinario: gli incrementi browniani hanno ordine $\sqrt{dt}$ , quindi il loro quadrato ha ordine $dt$ e non può essere trascurato nei passaggi di secondo ordine.

Confronto con il calcolo classico

Processo	Variazione quadratica	Conseguenza
Funzione regolare $x(t)$	$\displaystyle [x]_t=0$	I termini quadratici in $dt$ si trascurano.
Processo di Wiener $W_t$	$\displaystyle [W]_t=t$	Il termine $(dW_t)^2$ contribuisce come $dt$ .
Processo a variazione finita	$\displaystyle [A]_t=0$	Non produce correzione di Itô.
Semimartingala $X$	$\displaystyle [X]_t$ in generale non nullo	Serve il calcolo stocastico.

Ruolo nella formula di Itô

Se un processo soddisfa:

dX_t=a(t,X_t)\,dt+b(t,X_t)\,dW_t

allora la parte browniana produce:

(dX_t)^2=b^2(t,X_t)\,dt

Per questo, applicando la formula di Itô a una funzione $f(t,X_t)$ , compare il termine correttivo:

\dfrac{1}{2}b^2 f_{xx}\,dt

La variazione quadratica è quindi la ragione matematica per cui la regola della catena stocastica non coincide con quella deterministica.

Lettura ingegneristica

Nei modelli di rumore continuo, finanza quantitativa, filtraggio e diffusione, la variazione quadratica rappresenta l’intensità cumulata delle fluttuazioni rapide. Non misura uno spostamento netto, ma l’energia degli incrementi locali. Per un moto browniano, anche se gli incrementi medi sono nulli, i quadrati si accumulano linearmente nel tempo.

Vedi anche: moto browniano, integrale di Itô, formula di Itô, equazione differenziale stocastica.