Processo di Wiener — ingegnerismo.it

Il processo di Wiener è il nome matematico del moto browniano standard. È un processo stocastico continuo nel tempo che modella un’accumulazione di piccoli urti casuali indipendenti. In notazione usuale si indica con $\{W_t\}_{t\ge 0}$ .

La definizione standard richiede quattro proprietà:

$W_0=0$ quasi sicuramente;
gli incrementi su intervalli disgiunti sono indipendenti;
per $0\le s<t$ , l’incremento $W_t-W_s$ è gaussiano;
le traiettorie $t\mapsto W_t$ sono continue quasi sicuramente.

La proprietà caratteristica è:

W_t-W_s\sim \mathcal N(0,t-s).

Da qui seguono:

\mathbb E[W_t]=0, \qquad \operatorname{Var}(W_t)=t, \qquad \operatorname{Cov}(W_s,W_t)=\min(s,t).

Significato probabilistico

Il processo di Wiener è il limite continuo di una camminata aleatoria opportunamente riscalata. Se un sistema accumula perturbazioni piccole, indipendenti e senza deriva media, allora su scale temporali lunghe la somma normalizzata tende a un comportamento browniano. Questa idea spiega perché lo stesso modello compaia in diffusione molecolare, rumore nei sensori, finanza matematica, filtri stocastici e modelli di incertezza dinamica.

La varianza cresce linearmente con il tempo: dopo un intervallo lungo, la dispersione tipica è dell’ordine di $\sqrt{t}$ , non di $t$ . Per questo il processo si allontana dall’origine in modo irregolare, ma senza una velocità media deterministica.

Proprietà delle traiettorie

Le traiettorie di un processo di Wiener sono continue, ma quasi sicuramente non derivabili in nessun punto. Questa è una distinzione essenziale rispetto a un segnale classico: il grafico non presenta salti, ma è troppo irregolare per ammettere una velocità istantanea ordinaria.

La variazione quadratica su $[0,t]$ vale:

\sum_k \left(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}\right)^2 \longrightarrow t

quando la partizione dell’intervallo diventa sempre più fine. Questa proprietà è alla base del calcolo di Itô e distingue il moto browniano dai cammini regolari, per i quali la variazione quadratica tende normalmente a zero.

Uso nel calcolo stocastico

Il processo di Wiener è il rumore fondamentale del calcolo stocastico. Nelle equazioni differenziali stocastiche compare nella forma:

dX_t=a(X_t,t)\,dt+b(X_t,t)\,dW_t,

dove $a$ descrive la deriva deterministica e $b\,dW_t$ descrive la perturbazione casuale. L’integrale di Itô è costruito proprio per dare significato a espressioni integrate rispetto a $dW_t$ , mentre la formula di Itô sostituisce la regola della catena ordinaria quando la variabile dipende da un processo browniano.

Simulazione e cautele

Per simulare un processo di Wiener su una griglia temporale con passo $\Delta t$ , si usa:

W_{t+\Delta t}=W_t+\sqrt{\Delta t}\,Z, \qquad Z\sim\mathcal N(0,1).

Ridurre il passo non rende il cammino più liscio: rivela anzi nuove oscillazioni. Un errore comune è trattare la derivata formale $\dot W_t$ come una funzione ordinaria. In fisica e ingegneria questa derivata viene spesso chiamata rumore bianco, ma va interpretata in senso generalizzato, non come un segnale temporale classico campionabile punto per punto.

Vedi anche: Integrale di Itô, Formula di Itô, Equazione differenziale stocastica.