Processo Stocastico

Un processo stocastico (o aleatorio) è una collezione di Variabili Aleatorie $\{X(t), t \in T\}$ definite su un comune spazio di probabilità e indicizzate da un parametro $t$, che solitamente rappresenta il tempo o lo spazio.

Definizioni e Classificazione

Mentre una singola variabile aleatoria modella l’esito di un singolo esperimento, un processo stocastico modella un intero fenomeno che evolve nel tempo.

• Processi a Tempo Discreto: $t$ assume valori in un insieme numerabile (es. $t = 0, 1, 2, \dots$). Esempio: il numero di pacchetti che arrivano a un router ogni secondo.
• Processi a Tempo Continuo: $t$ assume valori in un intervallo reale (es. $t \geq 0$). Esempio: la tensione del rumore termico in un circuito elettrico.

Realizzazione (Traiettoria)

Una realizzazione del processo è una funzione deterministica del tempo che si ottiene fissando l’esito dell’esperimento aleatorio. In ingegneria, ciò che misuriamo con un oscilloscopio o un sensore è una singola realizzazione di un processo stocastico sottostante.

Proprietà Fondamentali

Per analizzare un processo, si studiano proprietà come:

• Stazionarietà: Se le proprietà statistiche del processo (media, varianza) non cambiano nel tempo.
• Ergodicità: Se è possibile stimare le proprietà statistiche del processo analizzando una singola realizzazione molto lunga (media temporale = media d’insieme).
• Autocorrelazione: Misura quanto il valore del processo in un istante dipenda dai valori passati.

Significato Ingegneristico

• Teoria dei Segnali: Ogni segnale informativo disturbato da rumore è modellato come un processo stocastico.
• Ingegneria delle Vibrazioni: Lo studio delle sollecitazioni sismiche o del vento sulle strutture richiede l’uso di processi stocastici per descrivere carichi che variano casualmente nel tempo.
• Finanza Quantitativa: Modellazione dell’andamento dei prezzi dei titoli o dei tassi di interesse (es. Moto Browniano).

Vedi anche: Variabile Aleatoria, Processo di Poisson, Catena di Markov.