Un’equazione differenziale stocastica descrive una dinamica continua in cui l’evoluzione dipende sia da un termine deterministico sia da un rumore aleatorio. È l’estensione probabilistica di una equazione differenziale ordinaria.
La forma di Itô più comune è:
dove a è la deriva, b il coefficiente di diffusione e W_t un processo di Wiener.
Forma integrale
La scrittura differenziale è compatta, ma il significato rigoroso è integrale:
Il primo integrale è ordinario; il secondo è un integrale di Itô. Il termine dW_t non è un differenziale classico: gli incrementi browniani hanno ordine \sqrt{dt} e variazione quadratica non nulla.
Lettura dei termini
| Termine | Ruolo | Effetto |
|---|---|---|
| \displaystyle a(t,X_t)\,dt | deriva | evoluzione media locale |
| \displaystyle b(t,X_t)\,dW_t | diffusione | fluttuazione casuale |
| \displaystyle X_0 | dato iniziale | stato aleatorio o deterministico iniziale |
Se b=0, si torna a una EDO deterministica. Se a=0 e b è costante, si ottiene una diffusione browniana scalata.
Esempi
Il processo di Ornstein-Uhlenbeck:
è una SDE lineare con richiamo verso la media. L’equazione di Langevin è il modello fisico classico per una particella soggetta ad attrito e forza casuale.
Calcolo di Itô
Per trasformare funzioni di processi stocastici non basta la regola della catena ordinaria. Si usa la formula di Itô, che introduce il termine correttivo legato a:
Questa regola distingue il calcolo stocastico dal calcolo differenziale classico.
Errori comuni
- Trattare dW_t come una derivata ordinaria del moto browniano.
- Confondere deriva e valore atteso globale: la deriva è un effetto locale.
- Ignorare la convenzione dell’integrale stocastico, per esempio Itô o Stratonovich.
- Simulare una SDE usando passi troppo grandi senza controllare stabilità e distribuzione degli errori.
Vedi anche: Processo di Wiener, Integrale di Itô, Formula di Itô, Processo di Ornstein-Uhlenbeck, Equazione di Langevin, Processo stocastico.