L’equazione di Langevin descrive l’evoluzione di un sistema soggetto contemporaneamente a forza deterministica, dissipazione e fluttuazioni casuali prodotte dall’ambiente. È uno dei modelli fondamentali della fisica statistica fuori equilibrio e una delle forme più importanti di equazione differenziale stocastica.
Il caso classico è una particella immersa in un fluido: l’attrito tende a smorzare la velocità, mentre gli urti microscopici delle molecole del fluido generano una forza casuale. L’equazione combina quindi una parte regolare, leggibile come dinamica ordinaria, e una parte rumorosa, descritta tramite un processo di Wiener o tramite rumore bianco ideale.
Forma sottosmorzata
Per una particella libera con velocità V_t si scrive spesso:
dove m è la massa, \gamma il coefficiente di attrito, \sigma l’intensità del rumore e W_t un processo di Wiener.
Dividendo per m:
Questa è una forma del processo di Ornstein-Uhlenbeck: la velocità viene richiamata verso zero dall’attrito, ma il rumore la mantiene fluttuante. Il tempo caratteristico di rilassamento è:
Se \gamma è grande o la massa è piccola, la memoria della velocità decade rapidamente; se \gamma è piccola, l’inerzia resta importante.
Forma con potenziale
Se la particella è soggetta a un potenziale U(x), la dinamica sottosmorzata si scrive:
Nel limite sovrasmorzato, in cui l’inerzia è trascurabile, si ottiene:
Il limite sovrasmorzato elimina la velocità come variabile esplicita: la posizione risponde quasi istantaneamente alla forza deterministica e alle fluttuazioni termiche. Questa forma è molto usata per diffusione in potenziali, dinamica colloidale, biomolecole, campionamento stocastico e modelli di particelle in bagno termico.
Fluttuazione e dissipazione
In equilibrio termico il coefficiente di rumore non è arbitrario. La relazione fluttuazione-dissipazione lega intensità del rumore e attrito, in modo che l’ambiente non produca energia senza dissiparla né raffreddi il sistema senza fluttuazioni compensative.
Nella forma sottosmorzata:
la coerenza con la temperatura T richiede:
Così la distribuzione di equilibrio della velocità ha varianza coerente con l’energia termica media:
in una dimensione. Questa condizione è ciò che rende fisica l’equazione, non solo formalmente stocastica.
Interpretazione
| Termine | Significato fisico |
|---|---|
| \displaystyle -\gamma V_t\,dt | attrito viscoso dissipativo |
| \displaystyle \sigma\,dW_t | urti microscopici casuali |
| \displaystyle -\nabla U(X_t)\,dt | forza deterministica da potenziale |
| \displaystyle k_BT | scala energetica termica |
La scrittura con dW_t è più rigorosa della scrittura con una forza casuale \xi(t). Formalmente si trova spesso:
dove \xi(t) rappresenta rumore bianco. Questa notazione è utile fisicamente, ma va interpretata con cautela: il rumore bianco ideale non è una funzione ordinaria del tempo.
Applicazioni
L’equazione di Langevin compare nella descrizione del moto browniano, della diffusione in potenziali, della dinamica molecolare stocastica, dei sistemi colloidali, del rumore termico nei dispositivi, delle fluttuazioni in materiali soffici e di algoritmi numerici come Langevin dynamics e metodi Monte Carlo basati su gradiente.
In ingegneria è utile quando un modello puramente deterministico non cattura l’effetto cumulato di gradi di libertà non osservati: vibrazioni microscopiche, rumore termico, urti molecolari, variabilità ambientale o forzanti non risolte.
Errori comuni
Un primo errore è scrivere la forza casuale come una funzione liscia del tempo. Il rumore ideale è una distribuzione generalizzata, non una forza deterministica ordinaria.
Un secondo errore è dimenticare che la soluzione è un processo aleatorio, non una singola traiettoria deterministica. Ha senso parlare di distribuzioni, medie, varianze, correlazioni e leggi di equilibrio.
Un terzo errore è confondere la forma sottosmorzata, con velocità esplicita, con quella sovrasmorzata. La prima conserva l’inerzia; la seconda assume che la velocità si rilassi molto più rapidamente della posizione.
Infine, usare il coefficiente di rumore senza controllare temperatura, unità e relazione con l’attrito può produrre un modello numericamente plausibile ma fisicamente incoerente.
Vedi anche: Equazione differenziale stocastica, Processo di Wiener, Rumore bianco, Processo di Ornstein-Uhlenbeck, Integrale di Itô, Relazione fluttuazione-dissipazione.