Il rumore bianco è un modello ideale di segnale casuale con contributi indipendenti a tempi diversi e potenza distribuita uniformemente sulle frequenze. Il nome richiama la luce bianca, che contiene tutte le frequenze visibili: allo stesso modo, il rumore bianco ideale ha densità spettrale piatta.
In un modello continuo si indica spesso con \xi(t) e si assume:
dove q misura l’intensità del rumore e \delta è la delta di Dirac. Questa formula dice che il rumore non ha memoria temporale: due istanti distinti sono non correlati.
Collegamento con il moto browniano
In calcolo stocastico il rumore bianco continuo non è una funzione ordinaria. È più rigoroso considerarlo come derivata formale del processo di Wiener:
nel senso delle distribuzioni generalizzate. Per questo le equazioni differenziali stocastiche sono scritte di solito con dW_t, non con \xi(t)\,dt.
La differenza non è solo formale: le traiettorie browniane sono continue ma quasi sicuramente non derivabili. Parlare di “derivata del moto browniano” richiede quindi una interpretazione matematica specifica.
Dominio delle frequenze
Nel dominio spettrale, un rumore bianco ideale ha densità spettrale di potenza costante:
Nessun sistema fisico può avere rumore bianco perfetto su tutte le frequenze, perché servirebbe potenza infinita. Nei modelli reali il rumore è considerato bianco solo entro una banda di frequenze rilevante per il sistema.
Questa approssimazione è molto utile nei segnali, nelle telecomunicazioni, nell’elettronica, nella fisica statistica e nei modelli di incertezza, perché semplifica l’analisi e rappresenta bene sorgenti rumorose con tempo di correlazione molto più piccolo della scala dinamica osservata.
Rumore bianco e rumore colorato
Il rumore bianco è non correlato nel tempo e ha spettro piatto. Un rumore colorato, invece, ha correlazioni temporali e spettro non costante. Per esempio un rumore a bassa frequenza dominante varia lentamente; un rumore ad alta frequenza dominante oscilla rapidamente.
Nelle applicazioni fisiche la distinzione è cruciale. Se l’ambiente ha memoria, modellarlo con rumore bianco può eliminare effetti importanti come ritardi, inerzia microscopica, bande limitate o risonanze.
Uso nelle equazioni di Langevin
Nell’equazione di Langevin il rumore bianco rappresenta l’effetto cumulato di moltissimi urti microscopici rapidi. La forma fisica informale:
viene spesso riscritta in forma stocastica:
La seconda forma è quella adatta al calcolo rigoroso, perché evita di trattare \xi(t) come una funzione classica.
Errori comuni
Il primo errore è pensare che il rumore bianco ideale sia fisicamente realizzabile su tutte le frequenze. È un modello limite, valido solo entro una banda e una scala temporale.
Il secondo errore è confondere rumore bianco con rumore “piccolo”. Il bianco descrive la struttura di correlazione e lo spettro, non necessariamente l’ampiezza.
Il terzo errore è derivare o integrare rumore bianco come una funzione ordinaria. Nei modelli continui servono gli strumenti del calcolo stocastico o delle distribuzioni.
Vedi anche: Processo di Wiener, Moto browniano, Equazione differenziale stocastica, Equazione di Langevin, Processo di Ornstein-Uhlenbeck.