Densità Spettrale di Potenza

La Densità Spettrale di Potenza (PSD - Power Spectral Density), indicata con $S_{XX}(f)$, descrive la distribuzione della potenza media di un Processo Stocastico nel dominio della frequenza. È lo strumento principale per analizzare segnali aleatori e rumore.

Definizione (Teorema di Wiener-Khinchine)

Per un processo Stazionario, la PSD è definita come la trasformata di Fourier della funzione di Autocorrelazione: $S_{XX}(f) = \mathcal{F}\{R_{XX}(\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty} R_{XX}(\tau) e^{-i 2\pi f \tau} \, d\tau$

Proprietà

• Reale e Positiva: Essendo una densità di potenza, $S_{XX}(f) \geq 0$ sempre.
• Potenza Totale: L’area sottesa dalla PSD su tutto l’asse delle frequenze corrisponde alla potenza totale media del segnale (identica al valore dell’autocorrelazione nell’origine $R_{XX}(0)$): $P_{tot} = \int_{-\infty}^{\infty} S_{XX}(f) \, df = E[X^2(t)]$
• Rumore Bianco: Un processo la cui PSD è costante per tutte le frequenze ($S_{XX}(f) = N_0/2$) è detto Rumore Bianco, per analogia con la luce bianca che contiene tutti i colori.

Significato Ingegneristico

• Telecomunicazioni: La PSD definisce l’occupazione di banda di un segnale modulato. Permette di progettare filtri per eliminare il rumore esterno senza danneggiare l’informazione utile.
• Ingegneria Meccanica (Vibrazioni): Nelle prove di vibrazione random (es. per componenti aerospaziali), la specifica di prova viene data sotto forma di un diagramma PSD (tipicamente in $g^2/\text{Hz}$), che descrive l’energia delle vibrazioni a ogni frequenza.
• Acustica: La classificazione dei rumori (rumore bianco, rumore rosa, rumore marrone) si basa sulla pendenza della loro PSD.
• Elettronica: Permette di calcolare la figura di rumore di un amplificatore e di minimizzare l’interferenza elettromagnetica (EMI).

Vedi anche: Autocorrelazione, Trasformata di Fourier, Stazionarieta.