Autocorrelazione

La funzione di autocorrelazione $R_{XX}(\tau)$ descrive la correlazione statistica tra i valori di un Processo Stocastico osservati in due istanti di tempo diversi. Indica quanto il valore presente del processo dipenda dai suoi valori passati.

Definizione

Per un processo Stazionario in Senso Lato, l’autocorrelazione dipende solo dal ritardo temporale $\tau$: $R_{XX}(\tau) = E[X(t) X(t+\tau)]$

Proprietà Fondamentali

1. Valore Massimo: $R_{XX}(0) = E[X^2(t)]$, che rappresenta la potenza totale media del segnale. Per ogni $\tau \neq 0$, $|R_{XX}(\tau)| \leq R_{XX}(0)$.

2. Simmetria: $R_{XX}(\tau) = R_{XX}(-\tau)$ (funzione pari).

3. Decadimento: Per processi reali “stabili”, l’autocorrelazione tende al quadrato della media ($\mu^2$) per $\tau \to \infty$, indicando che valori molto distanti nel tempo diventano scorrelati.

4. Distinzione dalla funzione di covarianza: la funzione di autocovarianza è $C_{XX}(\tau) = E[(X(t)-\mu)(X(t+\tau)-\mu)] = R_{XX}(\tau) - \mu^2$. L’autocorrelazione normalizzata $\rho_{XX}(\tau) = C_{XX}(\tau)/C_{XX}(0)$ ha valori in $[-1, 1]$ ed è indipendente dalla scala del processo. La distinzione è rilevante: $R_{XX}(0) = E[X^2]$ include il contributo della media al quadrato ($\mu^2$), mentre $C_{XX}(0) = \sigma^2_X$ è la varianza del processo.

5. Stazionarietà e ergodicità: la formula $R_{XX}(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)]$ vale per processi stazionari in senso lato (WSS), in cui la media è costante e l’autocorrelazione dipende solo da $\tau$, non da $t$. Per processi ergodici, la media d’insieme può essere sostituita dalla media temporale su una singola realizzazione lunga.

Significato Ingegneristico

• Identificazione di Periodicità: Se un segnale contiene una componente periodica sommersa nel rumore, l’autocorrelazione presenterà dei picchi in corrispondenza del periodo, permettendo di estrarre l’informazione.
• Relazione con la Frequenza: Per il Teorema di Wiener-Khinchine, la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione è la Densità Spettrale di Potenza (PSD). Questa relazione è il ponte fondamentale tra l’analisi temporale e quella frequenziale dei segnali aleatori.
• Predizione e Controllo: I filtri predittivi (come quelli usati nella compressione audio o nel controllo industriale) utilizzano l’autocorrelazione per prevedere il valore futuro del segnale a partire da quelli passati.

Vedi anche: Processo Stocastico, Stazionarietà, Densità Spettrale di Potenza.