La Densità Spettrale di Potenza (PSD - Power Spectral Density), indicata con S_{XX}(f), descrive la distribuzione della potenza media di un Processo Stocastico nel dominio della frequenza. È lo strumento principale per analizzare segnali aleatori e rumore.
Definizione (Teorema di Wiener-Khinchine)
Per un processo Stazionario, la PSD è definita come la trasformata di Fourier della funzione di Autocorrelazione: S_{XX}(f) = \mathcal{F}\{R_{XX}(\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty} R_{XX}(\tau) e^{-i 2\pi f \tau} \, d\tau
Proprietà
- Reale e Positiva: Essendo una densità di potenza, S_{XX}(f) \geq 0 sempre.
- Potenza Totale: L’area sottesa dalla PSD su tutto l’asse delle frequenze corrisponde alla potenza totale media del segnale (identica al valore dell’autocorrelazione nell’origine R_{XX}(0)): P_{tot} = \int_{-\infty}^{\infty} S_{XX}(f) \, df = E[X^2(t)]
- Rumore Bianco: Un processo la cui PSD è costante per tutte le frequenze (S_{XX}(f) = N_0/2) è detto Rumore Bianco, per analogia con la luce bianca che contiene tutti i colori.
Significato Ingegneristico
- Telecomunicazioni: La PSD definisce l’occupazione di banda di un segnale modulato. Permette di progettare filtri per eliminare il rumore esterno senza danneggiare l’informazione utile.
- Ingegneria Meccanica (Vibrazioni): Nelle prove di vibrazione random (es. per componenti aerospaziali), la specifica di prova viene data sotto forma di un diagramma PSD (tipicamente in g^2/\text{Hz}), che descrive l’energia delle vibrazioni a ogni frequenza.
- Acustica: La classificazione dei rumori (rumore bianco, rumore rosa, rumore marrone) si basa sulla pendenza della loro PSD.
- Elettronica: Permette di calcolare la figura di rumore di un amplificatore e di minimizzare l’interferenza elettromagnetica (EMI).
Vedi anche: Autocorrelazione, Trasformata di Fourier, Stazionarieta.