Covarianza

La covarianza, indicata con $\text{Cov}(X, Y)$ o $\sigma_{XY}$, è un indicatore statistico che descrive come due variabili aleatorie variano insieme.

Definizione

Si definisce come il valore atteso del prodotto degli scarti dalle rispettive medie: $\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]$

Una formula alternativa più semplice per il calcolo è: $\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$

Interpretazione dei Valori

• $\text{Cov}(X, Y) > 0$: Le due variabili tendono a variare nella stessa direzione (se una cresce, anche l’altra tende a crescere).
• $\text{Cov}(X, Y) < 0$: Le due variabili tendono a variare in direzioni opposte (se una cresce, l’altra tende a diminuire).
• $\text{Cov}(X, Y) = 0$: Non vi è associazione lineare tra le variabili.

Nota: Se due variabili sono indipendenti, la loro covarianza è zero, ma il viceversa non è necessariamente vero (potrebbe esserci una relazione non lineare).

Significato Ingegneristico

• Analisi dei Sistemi di Controllo: La covarianza tra il segnale di errore e il segnale di controllo è un parametro fondamentale per la stabilità del sistema.
• Teoria dei Segnali: La covarianza è alla base della funzione di Cross-Correlazione, usata per misurare la somiglianza tra due segnali o per trovare il ritardo temporale tra un segnale trasmesso e uno ricevuto (es. nel Radar).
• Meccanica delle Strutture: Nello studio delle vibrazioni aleatorie, si utilizza la matrice di covarianza per descrivere come le diverse parti di una struttura oscillano in modo coordinato sotto l’azione del vento o del sisma.

Vedi anche: Coefficiente di Correlazione, Varianza, Indipendenza Stocastica.