Un triangolo è un poligono con tre vertici, tre lati e tre angoli. È la figura piana più semplice e, insieme, l’elemento costruttivo di tutta la geometria euclidea: ogni poligono si decompone in triangoli, e su di essi si fonda la trigonometria.
Somma degli angoli interni
In geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è costante:
È una conseguenza diretta del postulato delle parallele: in geometrie non euclidee la somma è minore (iperbolica) o maggiore (sferica) di un angolo piatto. Da questa relazione segue che ogni angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti.
Classificazione
I triangoli si classificano secondo due criteri indipendenti:
- per lati: equilatero (tre lati uguali), isoscele (due lati uguali), scaleno (tutti diversi);
- per angoli: acutangolo, rettangolo, ottusangolo.
Nel triangolo rettangolo valgono il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide; nel caso generale subentrano il teorema del coseno e il teorema dei seni.
Area
Note base b e altezza relativa h, l’area vale
Quando l’altezza non è nota esistono alternative equivalenti: con due lati e l’angolo compreso si usa A=\tfrac12 ab\sin\gamma; con i tre lati si ricorre alla formula di Erone,
dove s è il semiperimetro. I tre lati, infine, esistono come triangolo solo se rispettano la disuguaglianza triangolare: ciascun lato deve essere minore della somma degli altri due.
Punti notevoli
Le terne di rette associate ai vertici concorrono in punti caratteristici, la cui esistenza si dimostra con il teorema di Ceva:
- le tre mediane (vertice → punto medio del lato opposto) si incontrano nel baricentro, che le divide in rapporto 2:1;
- gli assi dei lati si incontrano nel circocentro, centro del cerchio circoscritto;
- le bisettrici nell’incentro, centro del cerchio inscritto;
- le altezze nell’ortocentro.
Baricentro, circocentro e ortocentro sono sempre allineati sulla retta di Eulero; il punto medio tra circocentro e ortocentro è il centro del cerchio dei nove punti.
Cerchi notevoli
A ogni triangolo si associano due cerchi fondamentali: quello circoscritto, che passa per i tre vertici e ha centro nel circocentro, e quello inscritto, tangente ai tre lati e centrato nell’incentro. I rispettivi raggi si legano all’area A, ai lati e al semiperimetro s dalle relazioni R=\dfrac{abc}{4A} e r=\dfrac{A}{s}. Sono il ponte tra le grandezze del triangolo e la geometria del cerchio.
Esempio
Per il triangolo di lati 3,4,5 si ha s=6 ed Erone dà A=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=6. Poiché 3^2+4^2=5^2, il triangolo è rettangolo (vale il teorema di Pitagora) e la stessa area si ottiene da \tfrac12\cdot3\cdot4=6: i due metodi coincidono, come deve essere. Il raggio inscritto vale r=A/s=6/6=1 e quello circoscritto R=abc/4A=60/24=2{,}5, cioè metà dell’ipotenusa, come atteso in un triangolo rettangolo.