Teorema del coseno — ingegnerismo.it

Il teorema del coseno, o teorema di Carnot, dice che in un triangolo di lati $a,b,c$ :

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma,

dove $\gamma$ è l’angolo compreso tra i lati $a$ e $b$ . Esistono le tre forme simmetriche, una per ciascun lato e angolo opposto.

Generalizzazione di Pitagora

Se $\gamma=90^\circ$ si ha $\cos\gamma=0$ , il termine correttivo si annulla e si recupera il teorema di Pitagora:

c^2=a^2+b^2.

Il termine $-2ab\cos\gamma$ misura quindi lo scarto dal caso rettangolo: è negativo per angoli acuti (lato opposto più corto) e positivo per angoli ottusi (lato opposto più lungo). Nel caso estremo $\gamma=180^\circ$ i due lati sono allineati e opposti, $\cos\gamma=-1$ , e la formula restituisce $c=a+b$ , coerente con la disuguaglianza triangolare nel suo caso degenere; per $\gamma=0^\circ$ si ottiene invece $c=|a-b|$ .

Risoluzione del triangolo

Il teorema è lo strumento operativo in due casi:

tre lati noti (LLL): si ricava ogni angolo invertendo la formula, $\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ ;
due lati e l’angolo compreso (LAL): si trova subito il terzo lato.

Quando invece l’angolo noto non è compreso tra i lati dati, conviene il teorema dei seni.

Dimostrazione

Posti i vertici in coordinate con $C$ nell’origine e il lato $a$ lungo l’asse $x$ , si ha $A=(b\cos\gamma,\,b\sin\gamma)$ e $B=(a,0)$ . La distanza $c=\overline{AB}$ si calcola con la formula della distanza:

c^2=(a-b\cos\gamma)^2+(b\sin\gamma)^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma,

dove l’ultimo passaggio usa $\sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1$ . La stessa identità si ottiene, più astrattamente, sviluppando il quadrato della norma di una differenza di vettori, $\|u-v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2-2\,u\cdot v$ : qui il prodotto scalare $u\cdot v$ svolge il ruolo di $ab\cos\gamma$ .

Inversione per gli angoli

Risolvendo rispetto al coseno, il teorema fornisce ogni angolo a partire dai tre lati:

\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.

Il segno del numeratore classifica subito il triangolo rispetto all’angolo $\gamma$ : se $c^2<a^2+b^2$ l’angolo è acuto, se $c^2=a^2+b^2$ è retto (caso di Pitagora), se $c^2>a^2+b^2$ è ottuso. È il criterio più rapido per stabilire la natura di un triangolo noti i soli lati.

Esempio

Dati due lati $a=5$ , $b=7$ e l’angolo compreso $\gamma=60^\circ$ , il terzo lato è

c=\sqrt{25+49-2\cdot5\cdot7\cdot0{,}5}=\sqrt{39}\approx6{,}24.

Per l’angolo $\alpha$ opposto al lato $a$ si inverte la formula: $\cos\alpha=\dfrac{49+39-25}{2\cdot7\cdot6{,}24}\approx0{,}721$ , da cui $\alpha\approx43{,}9^\circ$ . Il terzo angolo segue per differenza, $\beta\approx76{,}1^\circ$ . In alternativa, noti ora i tre lati, gli angoli si ricavano anche con il teorema dei seni, prestando attenzione al caso ottuso in cui il seno non distingue l’angolo dal suo supplementare.