Il teorema dei seni afferma che, in un triangolo di lati a,b,c e angoli opposti \alpha,\beta,\gamma,
dove R è il raggio del cerchio circoscritto. Ogni lato è dunque proporzionale al seno dell’angolo opposto, con costante di proporzionalità 2R comune a tutto il triangolo.
Quando si usa
Il teorema risolve due configurazioni:
- due angoli e un lato (ALA o AAL): noti due angoli si ricava il terzo da \alpha+\beta+\gamma=180^\circ, poi si trovano i lati mancanti;
- due lati e l’angolo opposto a uno (LLA): è il caso ambiguo, perché \sin\alpha=\sin(180^\circ-\alpha) può dare due triangoli, uno solo o nessuno, in coerenza con la non-validità del criterio LLA nella congruenza dei triangoli.
Quando invece si conoscono due lati e l’angolo compreso, o i tre lati, conviene il teorema del coseno.
Legame con il cerchio circoscritto
L’uguaglianza con 2R deriva dal teorema dell’angolo al centro: una corda sottende un angolo alla circonferenza il cui seno è metà del rapporto tra corda e raggio. Per questo il teorema dei seni fornisce anche un modo diretto per calcolare il raggio del cerchio circoscritto a partire da un lato e dal suo angolo opposto.
Dimostrazione
Si tracci l’altezza h dal vertice C sul lato AB. Nei due triangoli rettangoli che si formano vale h=b\sin\alpha e h=a\sin\beta; uguagliando, a\sin\beta=b\sin\alpha, cioè a/\sin\alpha=b/\sin\beta. Ripetendo da un altro vertice si chiude la catena. Il valore comune è 2R perché, condotto il diametro per un vertice, l’angolo opposto diventa retto e il seno dell’angolo opposto eguaglia il rapporto tra lato e diametro.
Formula dell’area
Dalla relazione discende anche un’espressione dell’area del triangolo in funzione del raggio circoscritto:
Esempio
In un triangolo con \alpha=30^\circ, \beta=45^\circ e lato a=10 opposto ad \alpha, la costante è 2R=a/\sin\alpha=10/0{,}5=20. Il lato opposto a \beta vale allora b=20\sin45^\circ\approx14{,}14, e il terzo angolo è \gamma=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ. È il tipico uso del teorema nel caso «due angoli e un lato».
Il caso ambiguo in dettaglio
Quando i dati sono due lati e l’angolo opposto a uno (LLA), il teorema dà \sin dell’angolo cercato, ma a un seno corrispondono due angoli supplementari, uno acuto e uno ottuso. Se entrambi rendono la somma degli angoli minore di 180^\circ, esistono due triangoli distinti; se solo uno è ammissibile, la soluzione è unica; se nemmeno l’acuto chiude la figura, non esiste alcun triangolo. È il motivo per cui LLA non figura tra i criteri della congruenza dei triangoli, e spiega perché in quei casi è più sicuro impostare il problema con il teorema del coseno, che restituisce direttamente il lato senza ambiguità di segno.