Due triangoli sono congruenti quando lati e angoli corrispondenti sono uguali, cioè quando sono sovrapponibili mediante un’isometria (rotazione, traslazione, riflessione). La congruenza è il caso particolare della similitudine con rapporto k=1.
Criteri di congruenza
Non serve verificare tutti e sei gli elementi: bastano tre dati indipendenti, scelti tra i criteri fondamentali.
- LAL — due lati e l’angolo compreso tra essi;
- ALA — due angoli e il lato compreso;
- LLL — i tre lati.
Un quarto criterio, AAL (due angoli e un lato non compreso), si riconduce ad ALA perché il terzo angolo è determinato da \alpha+\beta+\gamma=180^\circ.
Il caso ambiguo LLA
Due lati e l’angolo opposto a uno di essi non costituiscono un criterio generale: secondo la configurazione la costruzione può dare nessuna, una o due soluzioni. È lo stesso fenomeno che rende ambiguo il teorema dei seni quando il dato è LLA. Per i triangoli rettangoli, invece, il caso si chiude: noti ipotenusa e un cateto la soluzione è unica, perché il terzo lato è fissato dal teorema di Pitagora.
Congruenza e isometrie
Affermare che due triangoli sono congruenti equivale a dire che esiste un’isometria — composizione di traslazioni, rotazioni e riflessioni — che porta esattamente l’uno sull’altro. Le isometrie conservano lunghezze e ampiezze, quindi trasformano un triangolo in uno congruente; viceversa, dati due triangoli con elementi corrispondenti uguali, la trasformazione che sovrappone un vertice, poi un lato, poi orienta il terzo vertice è univocamente determinata. I criteri LAL, ALA, LLL sono allora la traduzione «minima» di questa sovrapponibilità: tre dati indipendenti bastano perché un triangolo è una figura rigida.
Ruolo nelle dimostrazioni
La congruenza è lo strumento dimostrativo elementare per eccellenza: si prova che due segmenti o due angoli sono uguali esibendo due triangoli congruenti che li contengono come elementi corrispondenti. Su questo schema si fondano risultati classici come il teorema del triangolo isoscele (angoli alla base uguali), le proprietà delle bisettrici e degli assi, e le costruzioni con riga e compasso.
Differenza dalla similitudine
La congruenza non va confusa con la similitudine: due triangoli simili hanno la stessa forma ma, in generale, dimensioni diverse; due triangoli congruenti hanno forma e dimensioni identiche. La congruenza è la similitudine di rapporto 1. Ne segue che i criteri di similitudine richiedono proporzionalità dei lati, mentre quelli di congruenza ne richiedono l’uguaglianza.
Esempio
Due triangoli con lati 5 e 7 e angolo compreso di 40^\circ sono congruenti per LAL, indipendentemente dalla loro posizione nel piano: ogni altro elemento — terzo lato, area, angoli rimanenti — è automaticamente identico. Se invece di lati uguali avessero lati proporzionali (per esempio 10 e 14 con lo stesso angolo), sarebbero solo simili, non congruenti.