Due figure sono simili se hanno la stessa forma, cioè se si ottengono l’una dall’altra componendo un’isometria con una dilatazione di rapporto k>0. Equivale a dire che gli angoli corrispondenti sono uguali e le lunghezze corrispondenti stanno tutte nello stesso rapporto k, detto rapporto di similitudine.
Effetto sulle grandezze
Il fattore di scala agisce in modo diverso sulle grandezze a seconda della loro dimensione:
Raddoppiare le dimensioni lineari quadruplica le aree e ottuplica i volumi: è il motivo per cui le proprietà che dipendono da superficie e volume (dispersione termica, resistenza strutturale) non scalano in proporzione alla taglia.
Criteri di similitudine dei triangoli
Per i triangoli bastano tre criteri, più deboli di quelli della congruenza dei triangoli perché non richiedono uguaglianza ma proporzionalità:
- due angoli uguali (il terzo segue automaticamente);
- due lati proporzionali con l’angolo compreso uguale;
- tre lati proporzionali.
La similitudine è lo strumento principale per ricavare proporzioni metriche; il suo fondamento operativo è il teorema di Talete, e i teoremi di Euclide ne sono un’applicazione al triangolo rettangolo.
Similitudine come trasformazione
Oltre che come relazione tra figure, la similitudine è una trasformazione geometrica: la composizione di un’isometria con un’omotetia di rapporto k. La congruenza dei triangoli è il caso particolare k=1, in cui non c’è dilatazione. Le similitudini formano un gruppo e conservano gli angoli, il parallelismo, i rapporti tra lunghezze e quindi la «forma», pur alterando le dimensioni assolute.
L’effetto di scala nella pratica
La legge A\sim k^2, V\sim k^3 ha conseguenze concrete dette effetti di scala. Un animale due volte più alto pesa circa otto volte di più (volume), ma la sezione delle sue ossa cresce solo quattro volte (area): per questo gli organismi molto grandi hanno arti proporzionalmente più massicci. Lo stesso principio limita la miniaturizzazione e il dimensionamento delle strutture in ingegneria, dove resistenza (area) e carico (volume) non scalano insieme.
Esempio
Due triangoli con angoli 50^\circ, 60^\circ, 70^\circ sono simili per il primo criterio. Se i lati del primo sono 4,5,6 e il lato minore del secondo è 6, il rapporto è k=6/4=1{,}5 e gli altri lati valgono 7{,}5 e 9; la sua area è k^2=2{,}25 volte quella del primo.