Il teorema di Talete afferma che un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali determina su di esse segmenti corrispondenti proporzionali:
La proporzione vale per qualunque coppia di segmenti corrispondenti, non solo per quelli adiacenti: è l’espressione del fatto che le parallele conservano i rapporti lungo ogni trasversale.
Corollario sul triangolo
Applicato a un triangolo, il teorema dice che una retta parallela a un lato divide gli altri due in parti proporzionali:
con D,E sui lati AB,AC e DE\parallel BC. Il triangolo ADE risulta allora simile al triangolo ABC.
Perché è fondamentale
Talete è la base operativa della similitudine e di ogni costruzione in scala: dividere un segmento in parti uguali, costruire la quarta proporzionale, trasferire rapporti tra figure. È inoltre il primo risultato in cui il parallelismo viene tradotto in un’uguaglianza numerica tra lunghezze, ponte tra geometria sintetica e calcolo metrico.
Costruzioni con riga e compasso
Il corollario sul triangolo fornisce un metodo per dividere un segmento in n parti uguali: dal primo estremo si traccia una semiretta ausiliaria, vi si riportano n tacche equidistanti, si unisce l’ultima tacca all’altro estremo del segmento e si conducono le parallele a quella congiungente. Per il teorema, esse tagliano il segmento originale in n parti uguali. Lo stesso schema costruisce la quarta proporzionale x tale che a:b=c:x.
Teorema inverso
Vale anche il viceversa: se due trasversali determinano su tre rette segmenti corrispondenti proporzionali, allora le tre rette sono parallele. È questa implicazione che permette di dimostrare il parallelismo a partire da una proporzione tra lunghezze, ed è alla base della dimostrazione del teorema della retta dei punti medi.
Generalizzazione: il teorema della bisettrice
Una conseguenza diretta è il teorema della bisettrice: in un triangolo la bisettrice di un angolo divide il lato opposto in due parti proporzionali ai lati adiacenti,
Si dimostra proprio tracciando una parallela alla bisettrice e applicando Talete. Mostra come dal nucleo del teorema — parallele che tagliano proporzioni — discendano risultati metrici tutt’altro che immediati.
Esempio
Su una trasversale tre parallele intercettano i segmenti AB=4 e BC=6; su una seconda trasversale il segmento corrispondente ad AB misura A'B'=6. Per il teorema, B'C'=6\cdot\dfrac{6}{4}=9. La proporzione 4:6=6:9 è verificata. Se invece le tre parallele fossero equidistanti (AB=BC), lo sarebbero anche i segmenti sull’altra trasversale, qualunque sia la sua inclinazione.