I teoremi di Euclide sono due relazioni metriche valide nel triangolo rettangolo. Detta c l’ipotenusa, p_a,p_b le proiezioni dei cateti a,b sull’ipotenusa e h l’altezza relativa all’ipotenusa, l’altezza divide il triangolo in due triangoli simili all’originale: da questa similitudine discendono entrambi i teoremi.
Primo teorema
Ogni cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la propria proiezione:
Secondo teorema
L’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le due proiezioni:
Dimostrazione per similitudine
L’altezza h relativa all’ipotenusa divide il triangolo rettangolo in due triangoli più piccoli, entrambi simili a quello di partenza perché condividono con esso un angolo acuto (oltre all’angolo retto). Dalla similitudine del triangolo grande con quello che contiene il cateto a segue la proporzione c:a=a:p_a, da cui a^2=c\,p_a (primo teorema). Confrontando invece i due triangoli piccoli tra loro si ottiene p_a:h=h:p_b, cioè h^2=p_a p_b (secondo teorema).
Legame con Pitagora
Sommando le due relazioni del primo teorema, e usando p_a+p_b=c, si ottiene
cioè il teorema di Pitagora. I teoremi di Euclide ne sono quindi un raffinamento: non solo legano i quadrati dei lati, ma scompongono il quadrato dell’ipotenusa nelle due aree corrispondenti alle proiezioni dei cateti.
Costruzione della media geometrica
Il secondo teorema fornisce un metodo classico per costruire con riga e compasso la media geometrica di due segmenti p_a e p_b: si dispongono in fila sull’ipotenusa, si traccia la semicirconferenza di diametro c=p_a+p_b e si innalza la perpendicolare nel punto di giunzione. La sua intersezione con la semicirconferenza dista h=\sqrt{p_a p_b} dalla base. È lo stesso principio che permette di costruire la radice quadrata di un numero come lunghezza.
Relazione con l’area e l’altezza
Combinando i teoremi si ottiene un modo rapido per l’altezza relativa all’ipotenusa. Poiché l’area del triangolo rettangolo si può scrivere sia come \tfrac12 ab (semiprodotto dei cateti) sia come \tfrac12 ch, uguagliando si ricava
Questa formula e il secondo teorema h^2=p_a p_b devono dare lo stesso valore: è un utile controllo di coerenza nei problemi.
Esempio
In un triangolo rettangolo con ipotenusa c=10 e proiezioni p_a=3{,}6 e p_b=6{,}4, il primo teorema dà a=\sqrt{10\cdot3{,}6}=6 e b=\sqrt{10\cdot6{,}4}=8; il secondo dà l’altezza h=\sqrt{3{,}6\cdot6{,}4}=4{,}8. Lo stesso risultato si ritrova da h=ab/c=6\cdot8/10=4{,}8. Si riconosce il triangolo 6,8,10, multiplo del 3,4,5.