Un’omotetia di centro O e rapporto k\ne0 è la trasformazione geometrica che manda ogni punto P nel punto P' allineato con O e P tale che
Effetto del rapporto
Il segno e il modulo di k determinano l’effetto: con k>1 la figura si dilata, con 0<k<1 si contrae, con k<0 si ribalta dalla parte opposta del centro. Il centro O è l’unico punto fisso (tranne nel caso identità k=1).
Proprietà
L’omotetia conserva angoli, parallelismo e forma, moltiplicando tutte le lunghezze per |k|: è quindi una similitudine di rapporto |k|, e ogni figura trasformata è simile all’originale. Le aree risultano moltiplicate per k^2. Componendo un’omotetia con un’isometria si ottiene la più generale similitudine del piano. Un esempio notevole è il cerchio dei nove punti, immagine omotetica del cerchio circoscritto con rapporto \tfrac12.
Composizione di omotetie
Componendo due omotetie di rapporti k_1 e k_2 si ottiene un’omotetia di rapporto k_1 k_2 (se k_1k_2\ne1), il cui centro è allineato con i due centri di partenza. Se invece k_1 k_2=1 il risultato è una traslazione. Questa struttura — le omotetie di centro fisso formano un gruppo isomorfo ai reali non nulli per moltiplicazione — è alla base del teorema dei centri di similitudine per due cerchi.
Omotetia e prospettiva
L’omotetia modella matematicamente l’ingrandimento prospettico: un proiettore che proietta un’immagine su uno schermo realizza un’omotetia di centro la sorgente luminosa. È inoltre la trasformazione che lega le mappe e i disegni in scala all’oggetto reale, dove il rapporto k è il fattore di scala.
Esempio
Un’omotetia di centro O e rapporto k=3 trasforma un triangolo di area 5 in uno simile di area 5\cdot3^2=45 e perimetro triplo. Con k=-\tfrac12, lo stesso triangolo viene rimpicciolito a un quarto dell’area e ribaltato dall’altra parte del centro.