Il cerchio dei nove punti è una circonferenza notevole associata a ogni triangolo, così chiamata perché passa simultaneamente per nove punti significativi.
I nove punti
Il cerchio passa per:
- i tre piedi delle altezze;
- i tre punti medi dei lati;
- i tre punti medi dei segmenti che uniscono l’ortocentro ai vertici (detti punti di Eulero).
Che nove punti definiti in modo così diverso giacciano tutti su una stessa circonferenza è il contenuto sorprendente del teorema.
Centro e raggio
Il suo centro è il punto medio tra circocentro O e ortocentro H, e perciò giace sulla retta di Eulero insieme a baricentro, circocentro e ortocentro. Il suo raggio è la metà di quello del cerchio circoscritto:
Questa proporzione non è casuale: il cerchio dei nove punti è l’immagine del cerchio circoscritto attraverso un’omotetia di centro H e rapporto \tfrac12, il che spiega in un colpo solo sia il raggio dimezzato sia la posizione del centro.
La retta di Eulero
Baricentro G, circocentro O e ortocentro H di un triangolo qualsiasi (non equilatero) sono sempre allineati sulla retta di Eulero, con G che divide il segmento OH in rapporto 1:2. Il centro del cerchio dei nove punti, punto medio di OH, giace anch’esso su questa retta: quattro centri notevoli su un’unica retta, uno dei risultati più eleganti della geometria del triangolo.
Il teorema di Feuerbach
Un risultato ancora più sorprendente, dovuto a Feuerbach, afferma che il cerchio dei nove punti è tangente sia al cerchio inscritto sia ai tre cerchi exinscritti del triangolo. Nove punti notevoli sulla stessa circonferenza, e per di più tangente a quattro altri cerchi caratteristici: è la ragione per cui questa figura è considerata una piccola gemma della geometria classica.
Storia del nome
La figura è nota anche come cerchio di Eulero o cerchio di Feuerbach, dai due matematici che ne studiarono le proprietà. Il nome «dei nove punti» si impose perché è il minimo numero di punti notevoli che vi si riconoscono immediatamente, ma in realtà la stessa circonferenza incontra molti altri elementi caratteristici del triangolo, il che ne fa un oggetto centrale della geometria del triangolo.
Esempio
In un triangolo rettangolo l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto e il circocentro con il punto medio dell’ipotenusa. Il centro del cerchio dei nove punti è allora il punto medio del segmento che li unisce, e il suo raggio è metà di quello circoscritto, cioè un quarto dell’ipotenusa. I tre piedi delle altezze, in questo caso, includono lo stesso vertice retto, che vi appartiene insieme ai punti medi dei lati.