Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano (o dello spazio) un nuovo punto. Le trasformazioni si classificano per invarianti, cioè per le proprietà che lasciano immutate.
Gerarchia delle trasformazioni
Le classi principali formano una scala, dalla più rigida alla più libera:
- isometrie — conservano le distanze (traslazioni, rotazioni, riflessioni);
- similitudini — conservano gli angoli e scalano tutte le lunghezze di uno stesso fattore; l’omotetia ne è il caso base;
- affinità — conservano parallelismo e rapporti tra segmenti su rette parallele;
- proiettività — conservano gli allineamenti ma non il parallelismo.
Ogni classe contiene la precedente: ogni isometria è una similitudine, ogni similitudine un’affinità, e così via.
Il programma di Erlangen
L’idea di classificare la geometria attraverso le trasformazioni che ne lasciano invariate le proprietà è il nucleo del programma di Erlangen di Felix Klein: ciascuna geometria (euclidea, affine, proiettiva) coincide con lo studio degli invarianti di un determinato gruppo di trasformazioni. Le figure non sono più oggetti statici, ma rappresentanti di classi equivalenti sotto quel gruppo.
Rappresentazione matriciale
Nel piano, molte trasformazioni si esprimono come prodotto di una matrice per il vettore delle coordinate. Una rotazione di angolo \theta attorno all’origine, per esempio, è
La traslazione, che non è lineare, rientra nello schema solo passando alle coordinate omogenee: è il motivo per cui la computer grafica lavora con matrici più grandi.
Punti uniti e invarianti
Lo studio di una trasformazione passa per i suoi punti uniti (fissi) e le rette unite. Una rotazione ha un solo punto fisso (il centro), una traslazione nessuno, una omotetia il centro. Identificare ciò che resta invariato è il modo più efficace per riconoscere e comporre le trasformazioni.
Esempio
La composizione di due riflessioni rispetto a due rette è un’isometria che dipende dalla posizione reciproca degli assi: se le rette si incontrano, è una rotazione di angolo doppio rispetto a quello tra gli assi; se sono parallele, è una traslazione di lunghezza doppia rispetto alla loro distanza.