Una corda è un segmento che unisce due punti di una circonferenza. Divide il cerchio in due segmenti circolari e sottende due archi, uno minore e uno maggiore.
Lunghezza
Se una corda sottende un angolo al centro \alpha in un cerchio di raggio r, la sua lunghezza è
Il diametro, che corrisponde ad \alpha=180^\circ, è la corda massima e vale 2r. La formula è anche la radice geometrica del teorema dei seni: il rapporto tra una corda e il seno dell’angolo alla circonferenza che la sottende è costante e pari al diametro.
Distanza dal centro e sagitta
La distanza d della corda dal centro completa la lunghezza secondo
relazione che è semplicemente il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo formato da raggio, mezza corda e distanza. La differenza s=r-d è la sagitta, l’altezza dell’arco sopra la corda. Corde uguali dello stesso cerchio sono equidistanti dal centro, e viceversa.
Proprietà fondamentali
Dalla relazione precedente seguono alcune proprietà usate di continuo:
- la perpendicolare condotta dal centro a una corda la dimezza, e il suo prolungamento passa per i punti medi dei due archi;
- a corde più lunghe corrispondono distanze minori dal centro; il diametro, a distanza nulla, è la massima;
- l’asse di una corda (la sua perpendicolare nel punto medio) passa per il centro: è il principio con cui si ritrova il centro di una circonferenza dati tre suoi punti, intersecando due assi.
Corde e potenza di un punto
Quando due corde si intersecano internamente, i prodotti dei segmenti che ciascuna determina sono uguali: è il teorema delle corde, caso particolare della potenza di un punto per un punto interno al cerchio.
Corda, arco e angolo
A una stessa corda corrispondono due archi (minore e maggiore) e un angolo al centro \alpha; aumentando \alpha da 0 a 180^\circ la corda cresce da zero fino al diametro, poi torna a diminuire. Per angoli piccoli la corda è quasi indistinguibile dall’arco, \ell\approx r\alpha: è l’approssimazione alla base della misura in radianti e del limite notevole \lim_{\alpha\to0}(\sin\alpha)/\alpha=1.
Esempio
In un cerchio di raggio r=13, una corda a distanza d=5 dal centro è lunga \ell=2\sqrt{13^2-5^2}=2\sqrt{144}=24. La sua sagitta vale s=13-5=8. L’angolo al centro corrispondente si ricava da \sin(\alpha/2)=(\ell/2)/r=12/13, da cui \alpha\approx135^\circ.