Segmento circolare — ingegnerismo.it

Un segmento circolare è la regione di cerchio compresa tra una corda e l’arco che essa sottende. Ogni corda ne individua due: il segmento minore (sotteso dall’arco minore) e quello maggiore, complementari rispetto all’intero cerchio.

Area

Se il raggio è $r$ e l’angolo al centro è $\alpha$ in radianti, l’area del segmento minore è

A=\dfrac12 r^2(\alpha-\sin\alpha).

La formula nasce per differenza: si sottrae dall’area del settore circolare, pari a $\tfrac12 r^2\alpha$ , l’area del triangolo isoscele formato dai due raggi e dalla corda, pari a $\tfrac12 r^2\sin\alpha$ .

Costruzione della formula

La derivazione chiarisce perché compaiono entrambi i termini. L’area del settore circolare sotteso dall’angolo $\alpha$ è $\tfrac12 r^2\alpha$ ; il triangolo isoscele formato dai due raggi e dalla corda ha area $\tfrac12 r^2\sin\alpha$ . Il segmento è la regione del settore che sta oltre la corda, quindi la differenza delle due:

A_{\text{segmento}}=\underbrace{\tfrac12 r^2\alpha}_{\text{settore}}-\underbrace{\tfrac12 r^2\sin\alpha}_{\text{triangolo}}.

Casi limite

Il termine $\alpha-\sin\alpha$ chiarisce il comportamento agli estremi: per angoli piccoli $\sin\alpha\approx\alpha$ e l’area tende a zero come $\alpha^3$ , mentre per $\alpha=\pi$ il segmento diventa un semicerchio di area $\tfrac12\pi r^2$ . Per ottenere il segmento maggiore basta sostituire $\alpha$ con $2\pi-\alpha$ , oppure sottrarre il segmento minore dall’area totale del cerchio.

Altezza del segmento

Spesso il dato noto non è l’angolo ma l’altezza $h$ del segmento (la sagitta). Valgono allora $h=r\big(1-\cos\tfrac{\alpha}{2}\big)$ e la lunghezza della corda $c=2r\sin\tfrac{\alpha}{2}$ , che permettono di passare dai dati geometrici diretti (corda e altezza) all’angolo e quindi all’area. È la situazione tipica nel calcolo del volume di liquido in un serbatoio cilindrico orizzontale, dove la sezione bagnata è proprio un segmento circolare.

Esempio

In un cerchio di raggio $r=10$ , un segmento sotteso da $\alpha=90^\circ=\pi/2$ ha area $A=\tfrac12\cdot100\cdot\big(\tfrac{\pi}{2}-1\big)\approx28{,}5$ : meno di un terzo del settore corrispondente, che vale $\tfrac12\cdot100\cdot\tfrac{\pi}{2}\approx78{,}5$ . La differenza, circa $50$ , è proprio l’area del triangolo rettangolo isoscele di cateti $10$ , cioè $\tfrac12\cdot10\cdot10=50$ : il conto torna.