Il cerchio di centro O e raggio r è l’insieme dei punti del piano a distanza minore o uguale a r da O. La sua frontiera è la circonferenza; spesso, per brevità, i due termini vengono usati come sinonimi, ma in senso stretto il cerchio è la regione piena e la circonferenza solo il bordo.
Lunghezza e area
Le due grandezze fondamentali, entrambe governate dalla costante \pi, sono
A parità di perimetro il cerchio racchiude l’area massima tra tutte le figure piane (proprietà isoperimetrica): è la forma più «economica» per delimitare una superficie.
Parti del cerchio
Tagliando il cerchio con raggi e corde si ottengono regioni notevoli:
- una corda lo divide in due segmenti circolari;
- due raggi delimitano un settore circolare.
Equazione cartesiana
Nel piano cartesiano la circonferenza di centro (x_0,y_0) e raggio r ha equazione
che sviluppata diventa x^2+y^2+ax+by+c=0. È il caso più semplice di quadrica piana (una conica) ed è anche l’unica conica in cui i due assi sono indistinguibili, per via della simmetria centrale totale.
Teoremi metrici
Il cerchio organizza una famiglia di relazioni metriche: il legame tra angolo al centro e angolo alla circonferenza, le proprietà delle corde e delle tangenti, la potenza di un punto e l’inscrivibilità dei poligoni, come nel caso del quadrilatero ciclico. Una proprietà chiave è che l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco: da qui segue, ad esempio, che ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto.
Posizione di una retta
Rispetto a una retta, il cerchio può essere esterno (nessuna intersezione), tangente (un punto, quando la distanza dal centro eguaglia r) o secante (due punti). Il confronto tra la distanza centro-retta e il raggio decide il caso, ed è il fondamento del calcolo delle tangenti da un punto.
La costante pi greco
Entrambe le formule ruotano attorno a \pi, il rapporto costante tra circonferenza e diametro, uguale per ogni cerchio. È un numero irrazionale e trascendente (\pi\approx3{,}14159): la sua trascendenza è la ragione per cui la quadratura del cerchio con riga e compasso è impossibile. Il legame A=\pi r^2 si ottiene «srotolando» il cerchio in triangolini di altezza r e base complessiva C, da cui A=\tfrac12\,C\,r.
Esempio
Un cerchio di raggio r=5 ha circonferenza C=10\pi\approx31{,}4 e area A=25\pi\approx78{,}5. Raddoppiando il raggio a 10, la circonferenza raddoppia (20\pi) ma l’area quadruplica (100\pi): è la legge di scala C\sim r, A\sim r^2.