Una quadrica è un luogo dello spazio definito da un’equazione polinomiale di secondo grado nelle tre coordinate:
È l’analogo tridimensionale delle coniche nel piano: ellissoidi, iperboloidi a una o due falde, paraboloidi ellittici e iperbolici, oltre ai casi degeneri come coni e cilindri quadratici.
Classificazione per forma quadratica
La natura della quadrica dipende dalla parte di secondo grado, descritta da una matrice simmetrica 3\times3. Diagonalizzandola — operazione di algebra lineare che ne calcola gli autovalori — si eliminano i termini misti, e completando i quadrati si raggiunge la forma canonica. I segni dei tre autovalori determinano il tipo: tutti concordi danno un ellissoide, segni discordi gli iperboloidi, un autovalore nullo i paraboloidi.
Superfici rigate
Alcune quadriche, pur essendo curve, contengono intere rette: il paraboloide iperbolico (la classica «sella») e l’iperboloide a una falda sono doppiamente rigati, cioè per ogni loro punto passano due rette interamente appoggiate alla superficie. Questa proprietà ne fa strutture realizzabili con elementi rettilinei, sfruttata in architettura (torri di raffreddamento, coperture) e nella costruzione di ingranaggi.
Rilevanza
In ingegneria le quadriche compaiono come superfici riflettenti in ottica (lo specchio paraboloidico concentra i raggi in un fuoco), in meccanica (ellissoide d’inerzia), in geometria computazionale e nella modellazione di superfici. La stessa struttura — una forma quadratica ridotta agli assi principali — governa anche la classificazione dei punti critici nelle funzioni di più variabili.
Classificazione affine e proiettiva
Lo stesso luogo può apparire diverso secondo il punto di vista: nella geometria affine ellissoide, paraboloide e iperboloide sono distinti, ma nello spazio proiettivo molte quadriche diventano equivalenti, perché le differenze stanno solo nel modo in cui la superficie incontra il «piano all’infinito». È l’analogo tridimensionale del fatto che ellisse, parabola e iperbole sono tutte sezioni di uno stesso cono.
Esempio
L’equazione \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{z^2}{1}=1 rappresenta un ellissoide di semiassi 2,3,1. Tutti i coefficienti dei termini quadratici sono positivi (autovalori concordi), quindi la superficie è chiusa e limitata; cambiando il segno di un termine si otterrebbe invece un iperboloide, illimitato.