Lo spazio proiettivo \mathbb P^n(K) è l’insieme delle classi di equivalenza dei vettori non nulli di K^{n+1}, dove due vettori rappresentano lo stesso punto se sono proporzionali:
Un punto proiettivo si scrive con coordinate omogenee:
Punti all’infinito
La geometria proiettiva aggiunge ai punti ordinari i punti all’infinito (o impropri) e rende uniformi molti enunciati: due rette parallele nel piano affine si incontrano in un punto improprio, eliminando l’eccezione del parallelismo. Ne segue il principio di dualità, per cui ogni enunciato resta valido scambiando i ruoli di «punto» e «retta».
Uso applicativo
Le coordinate omogenee [x_0:x_1:\dots:x_n] del punto proiettivo rendono lineari, e quindi rappresentabili con matrici, le trasformazioni geometriche affini e proiettive. È per questo che computer graphics, robotica e visione artificiale lavorano in coordinate omogenee: traslazioni e proiezioni prospettiche, non lineari nello spazio affine, diventano semplici prodotti matriciali.
Il piano proiettivo
Il caso n=2, il piano proiettivo \mathbb{P}^2, si ottiene dal piano affine aggiungendo una «retta all’infinito» che raccoglie tutte le direzioni. Vi vale il principio di dualità: ogni teorema resta vero scambiando le parole «punto» e «retta», «giace su» e «passa per». Due punti individuano una retta, due rette individuano un punto — senza eccezioni, perché anche le parallele si incontrano. È il quadro naturale per i teoremi di Desargues e di Pascal.
Rapporto e birapporto
Le trasformazioni geometriche proiettive non conservano le distanze né i rapporti semplici, ma lasciano invariato il birapporto di quattro punti allineati, l’invariante fondamentale della geometria proiettiva. È questa quantità a permettere, in visione artificiale, di ricostruire misure relative da una fotografia nonostante la deformazione prospettica.
Esempio
Nel piano proiettivo, le rette y=x+1 e y=x+5, parallele nel piano affine, si incontrano nel punto improprio [1:1:0], che rappresenta la direzione comune di pendenza 1. In coordinate ordinarie quel punto «non esiste»; in coordinate omogenee è un punto a pieno titolo, con ultima coordinata nulla.