Un cono è il solido ottenuto unendo un vertice a tutti i punti di una base circolare. Nel cono retto il vertice sta sulla perpendicolare al centro della base; l’apotema (o lato) è l’ipotenusa del triangolo rettangolo formato da raggio e altezza, a=\sqrt{r^2+h^2}, per il teorema di Pitagora.
Volume e superfici
Con raggio r, altezza h e apotema a:
La superficie laterale sviluppata su un piano è un settore circolare di raggio a e arco 2\pi r.
Il fattore un terzo
Il coefficiente 1/3 è lo stesso delle piramidi e ha una ragione precisa: le sezioni parallele alla base sono simili a essa e le loro aree, per la similitudine, scalano con il quadrato della quota. Sommando (integrando) questi dischi si ottiene un terzo del cilindro di pari base e altezza. Lo stesso risultato segue dal principio di Cavalieri.
Tronco di cono e coni obliqui
Tagliando un cono con un piano parallelo alla base si ottiene un tronco di cono, di volume V=\tfrac13\pi h\,(R^2+Rr+r^2) con R,r i raggi delle due basi. Se invece il vertice non sta sulla perpendicolare al centro si ha un cono obliquo: la formula del volume \tfrac13\pi r^2 h resta valida (per Cavalieri, conta solo l’altezza), ma la superficie laterale non è più \pi r a.
Sezioni coniche
Intersecando la superficie conica con un piano si ottengono le coniche — ellisse, parabola, iperbole — a seconda dell’inclinazione del piano rispetto all’asse. È l’origine storica e il motivo del nome di queste curve, che riemergono come casi di quadrica degenere.
Esempio
Un cono di raggio r=3 e altezza h=4 ha apotema a=\sqrt{9+16}=5, volume V=\tfrac13\pi\cdot9\cdot4=12\pi\approx37{,}7 e superficie totale S=\pi\cdot3\cdot(3+5)=24\pi\approx75{,}4. Il cilindro di pari base e altezza avrebbe volume 36\pi, esattamente il triplo.