Il principio di Cavalieri afferma che due solidi compresi tra due piani paralleli hanno lo stesso volume se ogni piano parallelo intermedio li interseca in sezioni di area uguale. Non serve che le sezioni abbiano la stessa forma: basta che abbiano la stessa area a ogni quota.
Versione piana
L’analogo nel piano: due figure comprese tra due rette parallele hanno la stessa area se ogni retta intermedia le taglia in segmenti di uguale lunghezza. È il motivo per cui un parallelogramma e un rettangolo di pari base e altezza hanno la stessa area.
Significato e applicazioni
Il principio è una forma geometrica, anteriore al calcolo infinitesimale, dell’idea di integrazione per sezioni: il volume è la «somma» delle aree delle sezioni lungo l’altezza. Consente le dimostrazioni classiche dei volumi di cono e piramide (confronto con un prisma) e del volume della sfera, ottenuto da Archimede confrontandola con un cilindro privato di due coni. Lo stesso ragionamento spiega perché un prisma obliquo ha lo stesso volume di quello retto con uguale base e altezza.
Il volume della sfera
L’applicazione più celebre confronta una semisfera di raggio r con un cilindro di raggio e altezza r a cui è stato tolto un cono. A ogni quota y la sezione della semisfera è un cerchio di area \pi(r^2-y^2); quella del cilindro-meno-cono è una corona di area \pi r^2-\pi y^2, identica. Per Cavalieri i due solidi hanno lo stesso volume, da cui V_{\text{semisfera}}=\pi r^3-\tfrac13\pi r^3=\tfrac23\pi r^3 e quindi V_{\text{sfera}}=\tfrac43\pi r^3.
Dal principio all’integrale
In termini moderni il principio è esattamente il calcolo del volume come integrale dell’area delle sezioni, V=\int A(y)\,dy. Cavalieri lo formulò nel Seicento con il metodo «degli indivisibili», un precursore diretto del calcolo integrale di Newton e Leibniz.
Esempio
Due mazzi di carte, uno impilato dritto e uno «sfalsato» a scaletta, occupano lo stesso volume: ogni carta (sezione) ha la medesima area a ogni altezza, indipendentemente dallo spostamento orizzontale. È l’illustrazione più intuitiva del principio.