Un parallelogramma è un quadrilatero con entrambe le coppie di lati opposti paralleli. Da questa sola condizione discendono le proprietà caratteristiche: lati opposti congruenti, angoli opposti uguali, angoli adiacenti supplementari e diagonali che si bisecano nel punto di incontro.
Perimetro e area
Dette b e \ell le lunghezze di due lati consecutivi, \theta l’angolo tra essi e h l’altezza relativa alla base b:
L’area dipende dal seno dell’angolo: è massima quando il parallelogramma è un rettangolo (\theta=90^\circ) e tende a zero quando degenera in un segmento.
Identità del parallelogramma
Le due diagonali d_1,d_2 sono legate ai lati dalla relazione
La somma dei quadrati delle diagonali eguaglia la somma dei quadrati dei quattro lati. È la versione geometrica dell’identità del parallelogramma per le norme, e vale in uno spazio vettoriale esattamente quando la norma proviene da un prodotto scalare.
Criteri di riconoscimento
Un quadrilatero è un parallelogramma se vale anche una sola di queste condizioni: i lati opposti sono paralleli; i lati opposti sono congruenti; gli angoli opposti sono congruenti; le diagonali si bisecano; due lati opposti sono paralleli e congruenti. Ciascuna implica tutte le altre, e sono i criteri usati nelle dimostrazioni per stabilire che una figura è effettivamente un parallelogramma.
Casi particolari
Imponendo vincoli aggiuntivi si ottengono i casi notevoli: il rettangolo (angoli retti, diagonali congruenti), il rombo (lati tutti uguali, diagonali perpendicolari) e il quadrato, che li combina entrambi. Il rettangolo è l’unico parallelogramma ciclico, perché solo lì gli angoli opposti, uguali, sono anche supplementari (cioè retti).
Esempio
Un parallelogramma con lati b=8 e \ell=5 e angolo \theta=30^\circ ha area A=8\cdot5\cdot\sin30^\circ=8\cdot5\cdot0{,}5=20. Le diagonali verificano d_1^2+d_2^2=2(64+25)=178: se una diagonale misura \sqrt{49}=7, l’altra vale \sqrt{178-49}=\sqrt{129}\approx11{,}36.