Un quadrilatero è un poligono con quattro lati e quattro vertici. È la figura piana immediatamente successiva al triangolo e, a differenza di questo, non è rigida: noti i quattro lati, la forma può ancora variare finché non si fissa una diagonale o un angolo.
Somma degli angoli interni
Per un quadrilatero convesso la somma degli angoli interni è
caso particolare della formula generale (n-2)\cdot180^\circ valida per ogni poligono di n lati. Una diagonale, infatti, scompone il quadrilatero in due triangoli.
Famiglie principali
I casi notevoli si organizzano per gerarchia di proprietà:
- il trapezio ha una coppia di lati paralleli;
- il parallelogramma ha entrambe le coppie parallele, e da esso discendono rettangolo, rombo e quadrato;
- il deltoide ha due coppie di lati consecutivi congruenti.
A distinguere i casi sono parallelismo dei lati, congruenza e perpendicolarità delle diagonali. Un quadrilatero è inoltre inscrivibile in una circonferenza solo quando è ciclico, cioè quando i suoi angoli opposti sono supplementari.
Area
Non esiste un’unica formula d’area valida per tutti i quadrilateri: dipende dai dati. I casi più usati:
- con base e altezza per i casi notevoli (parallelogramma A=bh, trapezio A=\tfrac{(B+b)h}{2});
- con le diagonali d_1,d_2 e l’angolo \varphi tra esse, A=\tfrac12 d_1 d_2\sin\varphi, formula che per il rombo (diagonali perpendicolari) diventa A=\tfrac12 d_1 d_2;
- con i soli lati, solo nel caso ciclico, tramite la formula di Brahmagupta.
Un metodo generale è scomporre il quadrilatero in due triangoli tramite una diagonale e sommarne le aree.
Convesso e concavo
Un quadrilatero è convesso se entrambe le diagonali stanno al suo interno e nessun angolo supera 180^\circ; è concavo (o non convesso) se un angolo è maggiore di 180^\circ e una diagonale cade all’esterno. La formula sulla somma degli angoli interni 360^\circ vale per entrambi, ma molte proprietà metriche presuppongono la convessità.
Esempio
Un quadrilatero con diagonali d_1=8 e d_2=6 perpendicolari ha area A=\tfrac12\cdot8\cdot6=24, indipendentemente dalla forma esatta, purché le diagonali si taglino ad angolo retto: è il caso del rombo e del deltoide.