Un quadrilatero ciclico è un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza, cioè con i quattro vertici su uno stesso cerchio. Non tutti i quadrilateri lo sono: a differenza del triangolo, che ammette sempre un cerchio circoscritto, un quadrilatero generico non è inscrivibile.
Condizione caratteristica
Per un quadrilatero convesso ABCD la condizione di ciclicità è che gli angoli opposti siano supplementari:
La ragione è il teorema dell’angolo alla circonferenza: due angoli opposti del quadrilatero insistono sui due archi complementari in cui la diagonale divide il cerchio, e la loro somma è metà dell’angolo giro. Una condizione equivalente è che la diagonale BD sia vista dai vertici A e C sotto angoli uguali, quando questi stanno dalla stessa parte.
Area: formula di Brahmagupta
Per un quadrilatero ciclico di lati a,b,c,d e semiperimetro s=\tfrac{a+b+c+d}{2}, l’area si calcola con la formula di Brahmagupta:
È la generalizzazione della formula di Erone del triangolo, che si recupera ponendo d=0. A parità di lati, tra tutti i quadrilateri quello ciclico è quello di area massima.
Teorema di Tolomeo
Nei quadrilateri ciclici vale il teorema di Tolomeo: il prodotto delle diagonali eguaglia la somma dei prodotti dei lati opposti,
Più in generale, la formula di Bretschneider per l’area di un quadrilatero qualunque contiene un termine correttivo che dipende dalla somma di due angoli opposti: nel caso ciclico quella somma è 180^\circ, il termine si annulla e si ricade in Brahmagupta.
Esempio
Un rettangolo è sempre ciclico: i suoi angoli opposti misurano 90^\circ ciascuno e sommano a 180^\circ, e il cerchio circoscritto ha per diametro la diagonale. Un parallelogramma non rettangolo, invece, non è ciclico, perché i suoi angoli opposti sono uguali ma non supplementari.