La formula di Bretschneider calcola l’area di un quadrilatero convesso conoscendo i quattro lati e la somma di due angoli opposti. È la forma generale da cui discende la formula di Brahmagupta per i quadrilateri ciclici.
Siano a,b,c,d i lati consecutivi di un quadrilatero convesso e sia
il semiperimetro. Se \alpha e \gamma sono due angoli opposti, allora:
Significato dei termini
| Termine | Significato |
|---|---|
| \displaystyle s | semiperimetro del quadrilatero |
| \displaystyle (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) | parte dipendente dai lati |
| \displaystyle \alpha+\gamma | somma di due angoli opposti |
| \displaystyle abcd\cos^2\!\left(\dfrac{\alpha+\gamma}{2}\right) | correzione rispetto al caso ciclico |
La correzione mostra perché i soli lati non bastano in generale: cambiando l’apertura del quadrilatero cambia la somma degli angoli opposti e quindi cambia l’area.
Caso ciclico
Se il quadrilatero è ciclico, gli angoli opposti sono supplementari:
Allora
e la formula di Bretschneider si riduce a
Questa è esattamente la formula di Brahmagupta.
Uso operativo
| Informazioni disponibili | Formula adatta |
|---|---|
| tre lati di un triangolo | Formula di Erone |
| quattro lati e quadrilatero ciclico | Formula di Brahmagupta |
| quattro lati e somma di due angoli opposti | Formula di Bretschneider |
| lati e diagonali di un quadrilatero ciclico | Teorema di Tolomeo |
Nella pratica, Bretschneider è utile quando una misura angolare accompagna le lunghezze dei lati. Se invece si conoscono solo i quattro lati, l’area non è determinata senza un vincolo geometrico aggiuntivo, come la ciclicità.