La formula di Erone calcola l’area di un triangolo conoscendo soltanto le lunghezze dei tre lati. È utile quando non si conoscono altezze, angoli o coordinate dei vertici.
Siano a,b,c i lati del triangolo. Il semiperimetro è
s=\dfrac{a+b+c}{2}.
L’area è
A
=
\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.
Ipotesi
Prima di applicare la formula bisogna verificare la disuguaglianza triangolare:
a<b+c,
\qquad
b<a+c,
\qquad
c<a+b.
Se una di queste condizioni fallisce, i tre segmenti non formano un triangolo non degenere e il radicando non rappresenta un’area reale.
Tavola di lettura
| Quantità | Formula | Ruolo |
|---|---|---|
| Perimetro | \displaystyle p=a+b+c | somma dei lati |
| Semiperimetro | \displaystyle s=\dfrac{p}{2} | parametro compatto della formula |
| Area | \displaystyle A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} | area del triangolo |
Esempio
Per un triangolo di lati 13, 14 e 15:
s=\dfrac{13+14+15}{2}=21.
Quindi
A
=
\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}
=
\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}
=
84.
Relazioni
| Formula | Figura | Dati richiesti |
|---|---|---|
| Formula di Erone | triangolo | tre lati |
| Formula di Brahmagupta | quadrilatero ciclico | quattro lati |
| Formula di Bretschneider | quadrilatero convesso | quattro lati e somma di angoli opposti |
| Teorema del coseno | triangolo | due lati e angolo compreso |
La formula di Erone può essere ricavata dalla formula trigonometrica dell’area A=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma usando il teorema del coseno per eliminare l’angolo \gamma.