La formula di Brahmagupta calcola l’area di un quadrilatero ciclico conoscendo soltanto le lunghezze dei quattro lati. È l’analogo della formula di Erone per i triangoli, ma richiede un’ipotesi in più: il quadrilatero deve essere inscrivibile in una circonferenza.
Siano a,b,c,d i lati del quadrilatero e sia
il semiperimetro. Se il quadrilatero è ciclico, allora la sua area è
Ipotesi
| Condizione | Ruolo |
|---|---|
| Quadrilatero convesso | evita aree orientate o configurazioni intrecciate |
| Vertici conciclici | rende l’area determinata dai soli lati |
| Lati compatibili | nessun lato può essere maggiore o uguale alla somma degli altri tre |
Senza l’ipotesi di ciclicità, quattro lati non determinano un’area unica: un quadrilatero articolato con gli stessi lati può aprirsi o chiudersi cambiando area.
Relazione con Erone
Se un lato tende a zero, il quadrilatero ciclico degenera in un triangolo. Ponendo d=0:
e la formula diventa
cioè la formula di Erone.
Collegamento con Bretschneider
Per un quadrilatero convesso qualunque vale la formula di Bretschneider:
dove \alpha e \gamma sono due angoli opposti. Se il quadrilatero è ciclico, \alpha+\gamma=180^\circ, quindi il termine con il coseno si annulla e si ottiene Brahmagupta.
Lettura operativa
| Caso | Formula da usare |
|---|---|
| Triangolo con tre lati | Formula di Erone |
| Quadrilatero ciclico con quattro lati | Formula di Brahmagupta |
| Quadrilatero generico con lati e angoli opposti | Formula di Bretschneider |
| Quadrilatero ciclico con diagonali | Teorema di Tolomeo |
In geometria applicata la formula è utile quando i lati sono noti da misure lineari, ma la condizione di ciclicità va verificata o giustificata. Applicarla a un quadrilatero generico produce in genere l’area massima compatibile con quei lati, non necessariamente l’area reale.