Il teorema di Tolomeo afferma che, in un quadrilatero ciclico ABCD, il prodotto delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti dei lati opposti:
Disuguaglianza di Tolomeo
Per un quadrilatero qualsiasi vale invece la disuguaglianza
con l’uguaglianza che si realizza se e solo se il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza. L’identità è dunque una caratterizzazione della ciclicità, non solo una sua conseguenza.
Perché è importante
Il teorema è uno strumento centrale nella geometria del cerchio e all’origine della trigonometria classica: applicato a un quadrilatero con un lato coincidente con un diametro, fornisce le formule di addizione di seno e coseno, e fu il fondamento delle tavole delle corde di Tolomeo. Come caso particolare, scegliendo come quadrilatero un rettangolo, restituisce il teorema di Pitagora.
Dalle corde alle formule di addizione
Tolomeo costruì le sue tavole trigonometriche proprio a partire da questo teorema. Inscrivendo in un cerchio di diametro unitario un quadrilatero con due lati noti, la relazione tra diagonali e lati si traduce, via la corda come funzione dell’angolo, nelle identità
e analoghe. È il motivo per cui il teorema, puramente geometrico, è considerato il progenitore della trigonometria di addizione.
Esempio
Si consideri un rettangolo inscritto in un cerchio, di lati a e b e diagonali d. I lati opposti sono uguali (AB=CD=a, BC=DA=b) e le diagonali sono uguali (AC=BD=d). Tolomeo dà d\cdot d=a\cdot a+b\cdot b, cioè d^2=a^2+b^2: esattamente il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo formato da due lati e una diagonale.