La disuguaglianza triangolare stabilisce che tre lunghezze a,b,c formano un triangolo non degenere se e solo se ciascun lato è minore della somma degli altri due:
e analogamente permutando i lati. La doppia condizione riassume due fatti: nessun lato può superare la somma degli altri (segue il triangolo), né essere minore della loro differenza (il triangolo non si chiuderebbe). L’uguaglianza corrisponde al caso degenere in cui i tre vertici sono allineati.
Significato metrico
Geometricamente esprime che il segmento diretto tra due punti è più corto di qualunque spezzata che passi per un terzo punto: la retta è il cammino di lunghezza minima. È questa proprietà a rendere la distanza euclidea una metrica in senso rigoroso.
Forma vettoriale e astratta
In termini di vettori la disuguaglianza diventa una relazione tra norme:
con uguaglianza solo quando u e v sono paralleli e concordi. In questa forma si generalizza a qualunque spazio normato e costituisce uno degli assiomi di distanza.
Assioma di metrica
In matematica una funzione d(x,y) è una distanza (o metrica) se è non negativa, simmetrica, nulla solo per x=y e se soddisfa la disuguaglianza triangolare
Quest’ultima è la condizione cruciale: è ciò che rende coerente l’idea di «cammino più breve» e garantisce che la composizione di due percorsi non possa essere più corta del collegamento diretto. La disuguaglianza ricompare così, identica nella struttura, in contesti lontani dalla geometria del piano: nella distanza tra funzioni, tra segnali, tra stringhe di bit.
Disuguaglianza triangolare inversa
Dalla forma fondamentale segue immediatamente la versione inversa,
che limita inferiormente la distanza: due vettori di lunghezza molto diversa non possono essere vicini. È usata di continuo nelle stime di convergenza e di continuità.
Dimostrazione geometrica
Nel triangolo, la disuguaglianza segue dal fatto che a lato maggiore sta opposto angolo maggiore. Prolungando il lato CA di un segmento CD=CB si forma un triangolo isoscele; un confronto di angoli mostra che nel triangolo ABD l’angolo in D è minore dell’angolo in B, quindi il lato AB opposto al primo è minore di AD=CA+CB. È la traduzione rigorosa dell’intuizione che «la linea retta è il cammino più breve».
Esempio
Le lunghezze 2,3,6 non formano un triangolo: il lato maggiore 6 supera la somma 2+3=5 degli altri due. Con 2,3,4, invece, ogni lato è minore della somma dei rimanenti e il triangolo esiste. Il caso limite 2,3,5 è degenere: i tre punti risultano allineati e il «triangolo» ha area nulla, proprio la situazione di uguaglianza c=a+b.