Un settore circolare è la parte di cerchio delimitata da due raggi e dall’arco compreso. È la regione «a spicchio»: insieme al segmento circolare costituisce uno dei due modi naturali di ritagliare una porzione di cerchio.
Arco e area
Se l’angolo al centro è \alpha espresso in radianti, la lunghezza dell’arco e l’area del settore valgono
Entrambe le formule sono frazioni delle grandezze totali del cerchio: il settore è la quota \alpha/2\pi dell’intera circonferenza e dell’intera area. Combinando le due relazioni si ottiene anche A=\tfrac12\,\ell\,r, formalmente identica all’area di un triangolo di base \ell e altezza r.
Uso dei gradi
La forma compatta vale solo con \alpha in radianti, perché sfrutta la definizione di radiante come rapporto arco-raggio. Se l’angolo è dato in gradi occorre convertirlo, \alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\text{deg}}\,\pi/180, oppure usare direttamente la frazione \alpha/360^\circ del cerchio completo. È l’errore più frequente nei calcoli con i settori.
Settore, corona e fuso
Il settore non va confuso con altre regioni circolari: il segmento circolare è ciò che resta togliendo dal settore il triangolo centrale; la corona circolare è la regione tra due cerchi concentrici; in tre dimensioni l’analogo del settore è il settore sferico. Tenere distinte queste figure è essenziale per impostare il calcolo dell’area corretto.
Perimetro del settore
Oltre all’area, spesso serve il contorno del settore, che comprende l’arco e i due raggi:
A differenza dell’area, qui i due raggi vanno sempre aggiunti: dimenticarli è un errore tipico quando si calcola, ad esempio, la lunghezza del bordo di uno «spicchio».
Settore come frazione del cerchio
Il modo più sicuro per non sbagliare è pensare al settore come a una frazione dell’intero cerchio, pari ad \alpha/2\pi (o \alpha/360^\circ in gradi). Da qui sia l’arco, frazione della circonferenza 2\pi r, sia l’area, frazione di \pi r^2. È l’approccio che evita di confondere le due unità angolari e che si estende naturalmente al calcolo di porzioni di corona circolare.
Esempio
In un cerchio di raggio r=6, un settore di ampiezza \alpha=60^\circ=\pi/3 ha arco \ell=6\cdot\pi/3=2\pi\approx6{,}28 e area A=\tfrac12\cdot36\cdot\pi/3=6\pi\approx18{,}85, esattamente un sesto dell’intero cerchio, come ci si aspetta da 60^\circ/360^\circ=1/6. Il suo perimetro è P=\ell+2r=2\pi+12\approx18{,}28.