Il postulato delle parallele afferma che, data una retta r e un punto P esterno a essa, esiste una e una sola retta passante per P parallela a r. È la formulazione moderna (assioma di Playfair) del quinto postulato di Euclide.
Il tratto distintivo della geometria euclidea
Da questo postulato dipendono i risultati metrici fondamentali: la somma degli angoli interni di un triangolo pari a 180^\circ, i criteri sugli angoli formati da parallele tagliate da una trasversale, il teorema di Talete e l’intera teoria della similitudine.
Le geometrie non euclidee
Per duemila anni si tentò invano di dedurlo dagli altri postulati. La scoperta che è invece indipendente aprì le geometrie non euclidee, ottenute negandolo: nella geometria iperbolica per P passano infinite parallele a r e la somma degli angoli di un triangolo è minore di 180^\circ; nella geometria ellittica non ne passa nessuna e la somma supera 180^\circ. La geometria euclidea è dunque solo una delle possibili, quella in cui lo spazio è «piatto».
Eccesso angolare e curvatura
Nelle geometrie non euclidee la somma degli angoli di un triangolo non è più costante: dipende dall’area. La differenza rispetto a 180^\circ, detta eccesso (o difetto) angolare, è proporzionale all’area del triangolo e alla curvatura della superficie. Su una sfera un triangolo molto grande può avere tre angoli retti; su una superficie a sella la somma scende sotto 180^\circ. Il postulato euclideo equivale quindi all’ipotesi di curvatura nulla.
Importanza per la fisica
Lungi dall’essere una curiosità, le geometrie non euclidee sono il linguaggio della relatività generale, dove lo spazio-tempo è curvato dalla massa e la «linea retta» (geodetica) non obbedisce al postulato euclideo. La scelta tra le geometrie non è quindi logica ma sperimentale: dipende dalla struttura fisica dello spazio.
Esempio
Su una sfera, due meridiani sono entrambi perpendicolari all’equatore: partono dunque «paralleli» ma si incontrano ai poli. Il triangolo formato da due meridiani e un arco di equatore ha due angoli retti alla base più l’angolo al polo, per una somma maggiore di 180^\circ: la violazione diretta del postulato.