Un angolo è la figura individuata da due semirette con la stessa origine, detta vertice; le due semirette sono i lati dell’angolo. Misura l’apertura tra di esse, indipendentemente dalla loro lunghezza.
Unità di misura
La misura si esprime in gradi sessagesimali o in radianti, legati dalla conversione
con i riferimenti notevoli 90^\circ=\tfrac{\pi}{2}, 180^\circ=\pi, 360^\circ=2\pi. Il radiante è definito come l’angolo al centro che sottende un arco lungo quanto il raggio.
Classificazione
Si distinguono angoli acuti (<90^\circ), retti (=90^\circ), ottusi (tra 90^\circ e 180^\circ) e piatti (=180^\circ). Coppie notevoli sono gli angoli complementari (somma 90^\circ) e supplementari (somma 180^\circ), quest’ultima alla base della condizione del quadrilatero ciclico.
Angoli tra rette parallele
Quando due rette parallele sono tagliate da una trasversale si formano coppie di angoli con relazioni fisse: gli angoli corrispondenti e gli alterni (interni ed esterni) sono congruenti, i coniugati sono supplementari. Queste proprietà, conseguenza del postulato delle parallele, sono lo strumento con cui si dimostra che la somma degli angoli interni di un triangolo vale 180^\circ.
Ruolo in geometria e trigonometria
In geometria euclidea gli angoli governano parallelismo, congruenza dei triangoli e similitudine. In trigonometria il radiante è l’unità naturale, perché lega direttamente arco e raggio tramite \ell=r\alpha e rende le funzioni trigonometriche derivabili senza fattori di conversione: è grazie a questa scelta che vale il limite notevole \lim_{x\to0}(\sin x)/x=1, da cui \tfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Angolo al centro e alla circonferenza
In un cerchio, l’angolo al centro che sottende un arco è il doppio di qualunque angolo alla circonferenza che sottende lo stesso arco. Ne segue che tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su una semicirconferenza sono retti (teorema di Talete sul cerchio) e che gli angoli opposti di un quadrilatero ciclico sono supplementari.
Angoli orientati
In trigonometria e in fisica l’angolo è spesso orientato: positivo se percorso in senso antiorario, negativo in senso orario. Inoltre si ammettono angoli maggiori di un giro: 390^\circ e 30^\circ individuano la stessa posizione ma differiscono di un giro completo. Questa convenzione, naturale sul cerchio unitario, è ciò che rende le funzioni trigonometriche periodiche e definite per ogni valore reale.
Esempio
Un angolo di 120^\circ corrisponde a 120\cdot\pi/180=\tfrac{2}{3}\pi radianti; in un cerchio di raggio r=3 esso sottende un arco lungo \ell=r\alpha=3\cdot\tfrac{2}{3}\pi=2\pi e delimita un settore di area A=\tfrac12 r^2\alpha=\tfrac12\cdot9\cdot\tfrac{2}{3}\pi=3\pi.