Funzioni Trigonometriche

Le funzioni trigonometriche (o circolari) sono funzioni di un angolo, fondamentali nello studio dei triangoli e nella modellazione di fenomeni periodici. Le principali sono il seno ($\sin$), il coseno ($\cos$) e la tangente ($\tan$).

Definizione Goniometrica

Data una circonferenza di raggio unitario (centro nell’origine), per ogni angolo $\theta$, il punto $P$ sulla circonferenza ha coordinate: $P = (\cos \theta, \sin \theta)$ La tangente è definita come il rapporto: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Proprietà Fondamentali

1. Identità Pitagorica: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
2. Periodicità: Il seno e il coseno hanno periodo $2\pi$, mentre la tangente ha periodo $\pi$.
3. Limitazione: $-1 \leq \sin \theta \leq 1$ e $-1 \leq \cos \theta \leq 1$.
4. Simmetria: Il coseno è una funzione pari ($\cos(-\theta) = \cos \theta$), il seno è dispari ($\sin(-\theta) = -\sin \theta$).

Significato Ingegneristico

Le funzioni trigonometriche sono il linguaggio naturale per descrivere le onde e le vibrazioni.

• Segnali armonici: $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$, dove $\omega$ è la pulsazione.
• Fasori: Rappresentazione di correnti e tensioni in regime sinusoidale.
• Meccanica: Scomposizione delle forze lungo gli assi coordinati.

Derivate Notevoli

• $\frac{d}{d\theta} \sin \theta = \cos \theta$
• $\frac{d}{d\theta} \cos \theta = -\sin \theta$
• $\frac{d}{d\theta} \tan \theta = 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$