Le funzioni trigonometriche (o circolari) sono funzioni di un angolo, fondamentali nello studio dei triangoli e nella modellazione di fenomeni periodici. Le principali sono il seno (\sin), il coseno (\cos) e la tangente (\tan).
Definizione Goniometrica
Data una circonferenza di raggio unitario (centro nell’origine), per ogni angolo \theta, il punto P sulla circonferenza ha coordinate: P = (\cos \theta, \sin \theta) La tangente è definita come il rapporto: \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
Proprietà Fondamentali
- Identità Pitagorica: \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.
- Periodicità: Il seno e il coseno hanno periodo 2\pi, mentre la tangente ha periodo \pi.
- Limitazione: -1 \leq \sin \theta \leq 1 e -1 \leq \cos \theta \leq 1.
- Simmetria: Il coseno è una funzione pari (\cos(-\theta) = \cos \theta), il seno è dispari (\sin(-\theta) = -\sin \theta).
Significato Ingegneristico
Le funzioni trigonometriche sono il linguaggio naturale per descrivere le onde e le vibrazioni.
- Segnali armonici: x(t) = A \sin(\omega t + \phi), dove \omega è la pulsazione.
- Fasori: Rappresentazione di correnti e tensioni in regime sinusoidale.
- Meccanica: Scomposizione delle forze lungo gli assi coordinati.
Derivate Notevoli
- \frac{d}{d\theta} \sin \theta = \cos \theta
- \frac{d}{d\theta} \cos \theta = -\sin \theta
- \frac{d}{d\theta} \tan \theta = 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}