Il cerchio unitario è il cerchio di centro l’origine e raggio 1. È lo strumento con cui le funzioni trigonometriche, nate come rapporti tra lati di un triangolo rettangolo, si estendono ad angoli qualunque, positivi o negativi.
Definizione di seno e coseno
Per un angolo orientato \alpha, misurato dal semiasse positivo delle x in senso antiorario, il punto corrispondente sulla circonferenza ha coordinate
Coseno e seno sono dunque, rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata di P. La tangente è il rapporto \tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha, interpretabile come ordinata del punto in cui la retta per l’origine incontra la verticale x=1.
Identità fondamentale e simmetrie
Poiché P sta su un cerchio di raggio 1, le sue coordinate soddisfano x^2+y^2=1, cioè
Dalla posizione di P si leggono direttamente la periodicità 2\pi, le simmetrie (per esempio \cos(-\alpha)=\cos\alpha, \sin(-\alpha)=-\sin\alpha) e i valori notevoli agli assi, dove una delle due coordinate si annulla.
Valori notevoli
Gli angoli «da costruzione» hanno coordinate esprimibili con radicali, ottenute da triangoli rettangoli particolari:
con i seni speculari (\sin30^\circ=\tfrac12, eccetera). Negli altri tre quadranti gli stessi valori si ripetono con i segni dettati dalla posizione del punto: coseno positivo a destra dell’asse verticale, seno positivo sopra l’asse orizzontale.
Identità e formule di addizione
Oltre all’identità pitagorica, dal cerchio unitario discendono per via geometrica le formule di addizione, come
Esse legano la rotazione di un angolo composto alla combinazione delle coordinate, e sono il motivo per cui una rotazione del piano si rappresenta con una matrice di seni e coseni.
Dal cerchio alla circonferenza generale
Un punto su una circonferenza di centro (x_0,y_0) e raggio r si scrive in forma parametrica come (x_0+r\cos\alpha,\,y_0+r\sin\alpha): il cerchio unitario è il modello da cui, per traslazione e scala, si ottiene qualunque circonferenza. È questa parametrizzazione a rendere le funzioni trigonometriche lo strumento naturale per descrivere moti circolari e oscillazioni.
Esempio
All’angolo \alpha=120^\circ corrisponde sul cerchio unitario il punto \big(\cos120^\circ,\sin120^\circ\big)=\big(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\big), nel secondo quadrante. La verifica dell’identità fondamentale è immediata: \big(-\tfrac12\big)^2+\big(\tfrac{\sqrt3}{2}\big)^2=\tfrac14+\tfrac34=1. Lo stesso punto descrive, in cinematica, la posizione di un corpo che ruota di moto circolare uniforme dopo un terzo di mezzo giro.