Il teorema di Ceva fornisce la condizione perché tre ceviane di un triangolo siano concorrenti. Una ceviana è un segmento che congiunge un vertice a un punto del lato opposto. Se D\in BC, E\in CA, F\in AB, allora AD, BE, CF passano per uno stesso punto se e solo se
usando rapporti tra segmenti orientati.
Punti notevoli
È il teorema naturale per dimostrare la concorrenza dei punti notevoli del triangolo: scegliendo le ceviane come mediane si ottiene il baricentro, come bisettrici l’incentro, come altezze l’ortocentro. In ciascun caso il prodotto dei tre rapporti vale 1.
Dimostrazione con le aree
La via più rapida usa i rapporti tra aree. Una ceviana da A che incontra BC in D divide i triangoli in modo che \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{[ABD]}{[ACD]}=\dfrac{[PBD]}{[PCD]}, dove P è il punto di concorrenza e le parentesi indicano aree. Sottraendo, lo stesso rapporto vale per \dfrac{[ABP]}{[ACP]}. Scrivendo le tre relazioni analoghe e moltiplicandole, i numeratori e i denominatori si elidono a coppie e resta esattamente 1.
Dualità con Menelao
Ceva e Menelao sono teoremi duali: stessa espressione, prodotto dei tre rapporti, ma risultato +1 per la concorrenza di ceviane (Ceva) e -1 per l’allineamento di punti su una trasversale (Menelao). La coppia è il fondamento della geometria proiettiva del triangolo e si dimostra elegantemente anche con le coordinate omogenee.
Esempio
Le tre mediane di un triangolo concorrono nel baricentro: ciascuna unisce un vertice al punto medio del lato opposto, quindi \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{AF}{FB}=1 e il prodotto è banalmente 1\cdot1\cdot1=1. Il criterio di Ceva conferma la concorrenza senza bisogno di calcolare le coordinate del punto.