Il teorema di Menelao caratterizza l’allineamento di tre punti posti sui lati di un triangolo o sui loro prolungamenti. Se D\in BC, E\in CA, F\in AB (o sui relativi prolungamenti), allora D,E,F sono allineati se e solo se
con rapporti tra segmenti orientati. Il segno negativo riflette il fatto che una retta trasversale taglia un numero dispari di lati (uno o tre) considerando anche i prolungamenti.
Dualità con Ceva
Menelao è il teorema duale di Ceva: l’espressione è identica, ma il prodotto vale -1 per l’allineamento su una trasversale, contro il +1 della concorrenza delle ceviane. Insieme i due risultati descrivono le due situazioni fondamentali della geometria del triangolo: punti su una retta e rette per un punto.
Convenzione dei segni
Il valore -1 (anziché +1) dipende dall’uso dei rapporti orientati: a ciascun segmento si assegna un segno secondo il verso di percorrenza del lato. Una retta trasversale a un triangolo ne taglia i lati (o prolungamenti) in modo che un numero dispari di rapporti sia negativo, da cui il prodotto -1. Senza orientazione si scriverebbe |{\cdots}|=1, ma si perderebbe la capacità di distinguere Menelao da Ceva, che invece dà +1.
Uso
È lo strumento principe delle dimostrazioni sintetiche con rette trasversali e sta alla base di risultati proiettivi classici, come i teoremi di Desargues e di Pascal, dove conta l’allineamento dei punti di intersezione.
Esempio
In un triangolo ABC, una trasversale interseca BC in D con \dfrac{BD}{DC}=2 e CA in E con \dfrac{CE}{EA}=3. Per Menelao il terzo rapporto soddisfa 2\cdot3\cdot\dfrac{AF}{FB}=-1 (in valore assoluto 1), da cui \left|\dfrac{AF}{FB}\right|=\dfrac{1}{6}: il punto F cade sul prolungamento di AB, come segnala il segno negativo.