Intervallo reale — ingegnerismo.it

Un intervallo reale è un sottoinsieme della retta reale che contiene tutti i punti compresi tra due suoi elementi. È il modello matematico più semplice di un tratto continuo di retta: può essere finito o illimitato, aperto o chiuso, con uno o due estremi inclusi.

In forma equivalente, un sottoinsieme $I\subseteq\mathbb{R}$ è un intervallo se, presi due punti $x,y\in I$ con $x\lt y$ , ogni punto intermedio appartiene ancora a $I$ :

x\lt z\lt y \quad \Longrightarrow \quad z\in I

Questa proprietà esprime la continuità geometrica dell’intervallo: non ci sono buchi tra due punti inclusi. Per questo gli intervalli sono i domini naturali di molti teoremi di analisi reale, delle disequazioni e delle stime con il valore assoluto.

Intervalli limitati

Le forme principali con estremi finiti sono:

(a,b),\quad [a,b],\quad (a,b],\quad [a,b)

dove $a\lt b$ . Le parentesi tonde indicano estremi esclusi; le parentesi quadre indicano estremi inclusi.

Notazione	Nome	Estremi inclusi
$(a,b)$	aperto	nessuno
$[a,b]$	chiuso	entrambi
$(a,b]$	semiaperto	solo $b$
$[a,b)$	semiaperto	solo $a$

L’intervallo chiuso $[a,b]$ contiene massimo e minimo. L’intervallo aperto $(a,b)$ non li contiene, anche se $a$ e $b$ restano rispettivamente estremo inferiore ed estremo superiore.

Questa distinzione è essenziale: l’intervallo $(0,1)$ e l’intervallo $[0,1]$ hanno gli stessi estremi inferiori e superiori, ma solo il secondo contiene effettivamente $0$ e $1$ . In termini topologici, $(a,b)$ è un esempio di insieme aperto in $\mathbb{R}$ , mentre $[a,b]$ è un esempio di insieme chiuso e limitato.

Intervalli illimitati

Gli intervalli possono essere illimitati a destra, a sinistra o da entrambi i lati:

(a,+\infty),\qquad [a,+\infty),\qquad (-\infty,b),\qquad (-\infty,b].

Tutta la retta reale è un intervallo:

\mathbb{R}=(-\infty,+\infty).

I simboli $+\infty$ e $-\infty$ non sono numeri reali e non possono essere inclusi con parentesi quadre. Scritture come $[a,+\infty]$ non sono corrette nell’analisi reale elementare.

Un intervallo illimitato può essere chiuso senza essere limitato. Per esempio $[a,+\infty)$ è chiuso in $\mathbb{R}$ , ma non ha estremo superiore reale. Questo punto è spesso fonte di errori: “chiuso” non significa “finito” e “illimitato” non significa “aperto”.

Intervalli degeneri e vuoti

Se gli estremi coincidono, l’intervallo chiuso:

[a,a]

contiene un solo punto. Invece:

(a,a)=\varnothing.

Queste convenzioni sono utili in teoria degli insiemi, ottimizzazione e analisi dei casi limite, ma nei problemi elementari spesso si assume implicitamente $a\lt b$ . Se invece si scrive $[a,b]$ con $a\gt b$ , di norma non si intende un intervallo reale standard: bisogna prima chiarire la convenzione adottata.

Intervalli e disequazioni

Molte disequazioni in una variabile hanno come insieme soluzione un intervallo o unione di intervalli. Per esempio:

x\gt a \quad \Longleftrightarrow \quad x\in(a,+\infty)

a\le x\lt b \quad \Longleftrightarrow \quad x\in[a,b).

Le disequazioni con valore assoluto si traducono spesso in intervalli centrati. Se $r\gt0$ , allora:

|x-c|\lt r \quad \Longleftrightarrow \quad x\in(c-r,c+r).

La lettura intervallare evita ambiguità: non basta risolvere algebricamente la disequazione, bisogna anche rappresentare correttamente estremi inclusi, esclusi e possibili intervalli illimitati.

Intorni

Un intorno di centro $x_0$ e raggio $r\gt0$ è:

I(x_0,r)=(x_0-r,x_0+r)

L’intorno bucato è:

I^\ast(x_0,r)=I(x_0,r)\setminus\{x_0\}

Gli intorni sono centrali nella definizione di limite di funzione, continuità, punto di accumulazione e aperto della retta reale. L’intorno bucato consente di studiare il comportamento di una funzione vicino a $x_0$ senza imporre nulla sul valore assunto esattamente in $x_0$ .

Ruolo in analisi

Gli intervalli sono i domini naturali di molte proprietà dell’analisi reale. Su intervalli si formulano teoremi come il valore intermedio, Weierstrass, Rolle e Lagrange. La ragione è geometrica: se il dominio non è un intervallo, la funzione può “saltare” da una componente all’altra e molte conclusioni basate sulla continuità non valgono più.

La completezza dei reali entra in modo naturale: un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ contiene i limiti delle successioni convergenti che restano al suo interno, e questo rende possibili risultati di esistenza di massimi, minimi e zeri. L’intervallo aperto $(a,b)$ , invece, può contenere una successione che converge a un estremo non appartenente al dominio.

Errori comuni

Confondere chiuso e limitato: $[a,+\infty)$ è chiuso nella topologia usuale di $\mathbb{R}$ , ma non è limitato.
Includere l’infinito come estremo reale: $+\infty$ e $-\infty$ indicano direzioni illimitate, non punti della retta reale.
Dimenticare gli estremi nelle disequazioni: il passaggio da $\lt$ a $\le$ cambia la parentesi e quindi cambia l’insieme soluzione.
Pensare che ogni sottoinsieme ordinato sia un intervallo: l’insieme $\{1,2,3\}$ non è un intervallo perché non contiene i punti reali tra $1$ e $3$ .
Trascurare il dominio del problema: lo stesso insieme può essere aperto o chiuso in modo diverso se cambia lo spazio ambiente.

Vedi anche: insieme, insieme aperto, insieme chiuso, estremo superiore, estremo inferiore.