Una funzione f(x) si dice continua in un punto x_0 del suo dominio se il valore del limite per x \to x_0 coincide con il valore della funzione nel punto.
Definizione
f \text{ continua in } x_0 \Longleftrightarrow \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
Se questa condizione è verificata in ogni punto di un intervallo I, si dice che la funzione è continua su I.
Punti di discontinuità
Quando la condizione di continuità fallisce, si parla di discontinuità:
- I Specie (Salto): i limiti destro e sinistro esistono finiti ma sono diversi.
- II Specie (Essenziale): almeno uno dei due limiti non esiste o è infinito.
- III Specie (Eliminabile): il limite esiste finito ma è diverso dal valore f(x_0) o la funzione non è definita in x_0.
Importanza Ingegneristica
La continuità è un’ipotesi fondamentale per la maggior parte dei modelli fisici. Un segnale elettrico continuo non presenta brusche variazioni di tensione; una struttura meccanica continua trasmette le sollecitazioni senza interruzioni brusche del materiale.