Un insieme è una collezione di elementi considerati come un tutto unico. È uno dei concetti fondamentali del linguaggio matematico: permette di parlare di numeri, punti, funzioni, soluzioni, eventi, domini, immagini e strutture in modo preciso.
L’appartenenza si scrive:
e significa che l’elemento x appartiene all’insieme A. La non appartenenza si scrive:
In analisi si usano soprattutto sottoinsiemi di \mathbb R, \mathbb R^n e \mathbb C, ma la nozione è generale.
Le operazioni fondamentali sono:
L’unione A\cup B contiene gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi. L’intersezione A\cap B contiene gli elementi comuni. La differenza A\setminus B contiene gli elementi di A che non appartengono a B. Il complemento A^c dipende dall’insieme universo scelto.
L’inclusione si scrive:
e significa che ogni elemento di A appartiene anche a B.
Insieme vuoto e universo
L’insieme vuoto, indicato con:
non contiene elementi. È sottoinsieme di ogni insieme. L’insieme universo è il contenitore rispetto al quale si interpretano complementi e proprietà. Per esempio, il complemento di A cambia se si lavora in \mathbb R oppure in \mathbb C.
Questa dipendenza dall’universo è spesso sottovalutata: dire "A^c" senza specificare il contesto può essere ambiguo.
Modi di definire un insieme
Un insieme può essere descritto elencando gli elementi:
oppure tramite una proprietà:
Nel secondo caso l’insieme contiene tutti e soli gli elementi dell’universo che soddisfano la proprietà indicata. Nell’esempio:
Famiglie di insiemi
Spesso si lavora non con un solo insieme, ma con famiglie indicizzate:
Si possono allora definire unione e intersezione generalizzate:
Queste operazioni sono fondamentali in topologia, misura, probabilità e analisi funzionale. Una topologia, per esempio, è una famiglia di insiemi aperti chiusa rispetto a certe unioni e intersezioni.
Prodotto cartesiano
Il prodotto cartesiano di due insiemi è:
È la base per costruire piani, spazi, relazioni e funzioni di più variabili. Per esempio:
Un punto del piano è una coppia ordinata di numeri reali.
Insiemi in analisi
Gli insiemi reali si studiano spesso tramite intervalli, intorni, punti interni, punti di accumulazione, maggioranti, minoranti, massimo, minimo, supremo e infimo.
In analisi, la natura dell’insieme su cui una funzione è definita influenza continuità, derivabilità, integrabilità e limiti. Un intervallo chiuso e limitato ha proprietà diverse da un intervallo aperto; un insieme compatto permette teoremi forti come l’esistenza di massimo e minimo per funzioni continue.
In probabilità, gli eventi sono insiemi di esiti. In algebra lineare, sottospazi e basi sono insiemi con struttura. In ottimizzazione, vincoli e regioni ammissibili sono insiemi di soluzioni possibili.
Errori comuni
Il primo errore è confondere appartenenza e inclusione: x\in A riguarda un elemento, mentre A\subset B riguarda due insiemi. Il secondo è dimenticare l’universo del discorso quando si parla di complemento. Il terzo è trattare insiemi con lo stesso numero di elementi come se fossero uguali: l’uguaglianza richiede gli stessi elementi, non solo la stessa cardinalità.
Un insieme è quindi il contenitore logico su cui si costruiscono definizioni matematiche più avanzate. La sua semplicità apparente è proprio ciò che lo rende onnipresente.
Vedi anche: Intervallo reale, Insiemi numerici, Estremo superiore.