L’estremo superiore (spesso indicato con Sup) è una generalizzazione del concetto di massimo, fondamentale per la formalizzazione rigorosa dei numeri reali e per l’analisi matematica.
Sia A \subset \mathbb{R} un insieme non vuoto. L’estremo superiore di A, indicato con L = \sup A, è il più piccolo dei maggioranti di A. Soddisfa due proprietà:
- È un maggiorante: \forall a \in A, a \leq L.
- È il minimo dei maggioranti: \forall \epsilon > 0, \exists a \in A : a > L - \epsilon.
Differenza con il Massimo
Mentre il massimo deve necessariamente appartenere all’insieme A, l’estremo superiore può non farne parte. Ad esempio, nell’intervallo A = 0, 1), \sup A = 1, ma il massimo non esiste poiché 1 \notin A. Se l’estremo superiore appartiene all’insieme, allora coincide con il massimo.
Assioma di Completezza
L’insieme dei numeri reali \mathbb{R} è caratterizzato dal fatto che ogni sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente ammette un estremo superiore reale. Questa proprietà di completezza non vale per i razionali \mathbb{Q} (ad esempio, l’insieme \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\} ammette maggioranti ma non ha un estremo superiore razionale).
Vedi anche: [Estremo Inferiore, Massimo.