Estremo Superiore

L’estremo superiore (spesso indicato con Sup) è una generalizzazione del concetto di massimo, fondamentale per la formalizzazione rigorosa dei numeri reali e per l’analisi matematica.

Sia $A \subset \mathbb{R}$ un insieme non vuoto. L’estremo superiore di $A$, indicato con $L = \sup A$, è il più piccolo dei maggioranti di $A$. Soddisfa due proprietà:

1. È un maggiorante: $\forall a \in A, a \leq L$.
2. È il minimo dei maggioranti: $\forall \epsilon > 0, \exists a \in A : a > L - \epsilon$.

Differenza con il Massimo

Mentre il massimo deve necessariamente appartenere all’insieme $A$, l’estremo superiore può non farne parte. Ad esempio, nell’intervallo $A = 0, 1)$, $\sup A = 1$, ma il massimo non esiste poiché $1 \notin A$. Se l’estremo superiore appartiene all’insieme, allora coincide con il massimo.

Assioma di Completezza

L’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ è caratterizzato dal fatto che ogni sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente ammette un estremo superiore reale. Questa proprietà di completezza non vale per i razionali $\mathbb{Q}$ (ad esempio, l’insieme $\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$ ammette maggioranti ma non ha un estremo superiore razionale).

Vedi anche: [Estremo Inferiore, Massimo.