Insieme chiuso — ingegnerismo.it

Un insieme chiuso è un insieme che contiene tutti i propri punti limite. Intuitivamente, se una successione di punti dell’insieme si avvicina a un punto, quel punto non può rimanere fuori dall’insieme. Questa proprietà è essenziale in analisi, ottimizzazione e geometria perché impedisce che soluzioni candidate “sfuggano” al bordo del dominio.

Definizione tramite complementare

In uno spazio euclideo, un insieme $A\subseteq\mathbb{R}^n$ è chiuso se il suo complementare è aperto:

A\ \text{chiuso} \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbb{R}^n\setminus A\ \text{aperto}.

Questa è spesso la definizione più comoda quando l’insieme è descritto da disuguaglianze.

Criterio sequenziale

Un criterio molto usato è quello sequenziale:

A\ \text{chiuso} \quad\Longleftrightarrow\quad (x_k\in A,\ x_k\to x)\Rightarrow x\in A.

In altre parole, il limite di una successione convergente di punti di $A$ deve appartenere ancora ad $A$ .

Per esempio, l’intervallo

[0,1]

è chiuso in $\mathbb{R}$ , mentre

(0,1)

non è chiuso perché la successione $x_k=1/k$ appartiene a $(0,1)$ ma converge a $0$ , che non appartiene all’intervallo.

Frontiera e punti limite

Un insieme chiuso contiene la propria frontiera. Questo non significa che sia necessariamente limitato: la retta reale $\mathbb{R}$ è chiusa in sé, e anche l’intervallo $[0,+\infty)$ è chiuso ma non limitato.

La chiusura di un insieme $A$ , spesso indicata con $\overline A$ , è il più piccolo chiuso che contiene $A$ . Si ottiene aggiungendo ad $A$ tutti i suoi punti limite.

Collegamento con compattezza

Negli spazi euclidei, il teorema di Heine-Borel afferma che un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato. La chiusura da sola non basta per la compattezza, ma è una delle due condizioni geometriche fondamentali.

Questo è importante nei problemi di massimo e minimo: se il dominio ammissibile è chiuso e limitato e la funzione è continua, allora massimo e minimo vengono effettivamente raggiunti.

Proprietà operative

L’intersezione arbitraria di insiemi chiusi è chiusa:

\bigcap_{\alpha\in I} C_\alpha \quad\text{è chiusa se ogni }C_\alpha\text{ è chiuso}.

L’unione finita di chiusi è chiusa:

C_1\cup\cdots\cup C_m \quad\text{è chiusa se }C_1,\ldots,C_m\text{ sono chiusi}.

L’unione infinita di chiusi può non essere chiusa. Per esempio,

\bigcup_{n=1}^{+\infty}\left[\dfrac{1}{n},1\right]=(0,1],

che non è chiuso in $\mathbb{R}$ .

Errori comuni

Un errore frequente è pensare che chiuso significhi “con bordo visibile” o “limitato”. Non è così: un insieme può essere chiuso e illimitato.

Un secondo errore è considerare aperto e chiuso come opposti esclusivi. Alcuni insiemi possono essere né aperti né chiusi; in certi spazi, alcuni insiemi possono essere sia aperti sia chiusi.

Infine, la chiusura dipende dallo spazio ambiente. L’intervallo $(0,1)$ non è chiuso in $\mathbb{R}$ , ma può essere chiuso se lo spazio ambiente è proprio $(0,1)$ con la topologia relativa. Per esercizi collegati, vedi topologia in $\mathbb{R}^n$ .