Un punto di accumulazione di un insieme A\subset\mathbb R è un punto x_0 tale che ogni intorno bucato di x_0 contiene almeno un punto di A:
dove:
Il punto x_0 non deve necessariamente appartenere ad A. Ciò che conta è che A abbia punti arbitrariamente vicini a x_0, diversi da x_0 stesso.
Esempi
Per l’intervallo aperto:
tutti i punti di [0,1] sono punti di accumulazione. Gli estremi 0 e 1 non appartengono ad A, ma ogni loro intorno contiene punti di A.
Per l’insieme:
il punto 0 è un punto di accumulazione, anche se 0\notin A. Ogni intorno di 0 contiene infiniti termini della successione 1/n.
Un insieme finito di punti reali non ha punti di accumulazione in \mathbb R, perché si può isolare ogni punto con un intorno abbastanza piccolo.
Punti isolati e chiusura
Un punto a\in A è isolato se esiste un intorno di a che non contiene altri punti di A. Un punto isolato appartiene all’insieme, ma non è un punto di accumulazione.
La chiusura di un insieme può essere vista come l’insieme formato dai punti dell’insieme più i suoi punti di accumulazione:
dove A' indica l’insieme derivato, cioè l’insieme dei punti di accumulazione.
Ruolo nei limiti
Il concetto è essenziale per definire il limite di funzione: ha senso chiedere il comportamento di f(x) per x\to x_0 solo se il dominio contiene punti arbitrariamente vicini a x_0 diversi da x_0.
Se x_0 non è punto di accumulazione del dominio, la nozione di limite in x_0 perde il significato operativo usuale: non ci sono valori della funzione da osservare avvicinandosi al punto.
Un errore comune è confondere punto di accumulazione e punto appartenente all’insieme. Un estremo escluso di un intervallo può essere punto di accumulazione; un punto isolato incluso nell’insieme può non esserlo.
Vedi anche: Intervallo reale, Limite di funzione, Continuità, Intorni e topologia della retta.