La topologia della retta reale studia le proprietà degli insiemi di numeri reali legate alla nozione di vicinanza, indipendentemente da misure precise.
Intervalli
Un intervallo è un sottoinsieme connesso di \mathbb{R}: se contiene due punti, contiene tutti i punti intermedi. Si classificano in:
- Aperti: (a, b), (-\infty, b), (a, +\infty)
- Chiusi: [a, b]
- Semiaperti: [a, b), (a, b]
Intorni
Un intorno del punto x_0 di raggio \varepsilon > 0 è l’intervallo aperto: U(x_0, \varepsilon) = (x_0 - \varepsilon,\, x_0 + \varepsilon)
Si dice che una proprietà vale in un intorno di x_0 se vale per tutti i punti sufficientemente vicini a x_0.
Punti di Accumulazione
x_0 è un punto di accumulazione per l’insieme A \subseteq \mathbb{R} se ogni intorno di x_0 contiene almeno un punto di A diverso da x_0: \forall \varepsilon > 0,\quad U(x_0, \varepsilon) \cap (A \setminus \{x_0\}) \neq \emptyset
I limiti di funzione si definiscono solo nei punti di accumulazione del dominio.
Insiemi Aperti e Chiusi
- Un insieme A è aperto se ogni suo punto è interno (ha un intorno interamente contenuto in A).
- Un insieme A è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione (equivalentemente, il suo complementare è aperto).