Intorni e Topologia della Retta

La topologia della retta reale studia le proprietà degli insiemi di numeri reali legate alla nozione di vicinanza, indipendentemente da misure precise.

Intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme connesso di $\mathbb{R}$: se contiene due punti, contiene tutti i punti intermedi. Si classificano in:

• Aperti: $(a, b)$, $(-\infty, b)$, $(a, +\infty)$
• Chiusi: $[a, b]$
• Semiaperti: $[a, b)$, $(a, b]$

Intorni

Un intorno del punto $x_0$ di raggio $\varepsilon > 0$ è l’intervallo aperto: $U(x_0, \varepsilon) = (x_0 - \varepsilon,\, x_0 + \varepsilon)$

Si dice che una proprietà vale in un intorno di $x_0$ se vale per tutti i punti sufficientemente vicini a $x_0$.

Punti di Accumulazione

$x_0$ è un punto di accumulazione per l’insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ se ogni intorno di $x_0$ contiene almeno un punto di $A$ diverso da $x_0$: $\forall \varepsilon > 0,\quad U(x_0, \varepsilon) \cap (A \setminus \{x_0\}) \neq \emptyset$

I limiti di funzione si definiscono solo nei punti di accumulazione del dominio.

Insiemi Aperti e Chiusi

• Un insieme $A$ è aperto se ogni suo punto è interno (ha un intorno interamente contenuto in $A$).
• Un insieme $A$ è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione (equivalentemente, il suo complementare è aperto).