Intorno — ingegnerismo.it

Un intorno di un punto è un insieme che contiene tutti i punti sufficientemente vicini a quel punto. È il concetto che rende rigorose espressioni come “vicino a”, “localmente”, “in un piccolo intervallo attorno a” o “per valori abbastanza prossimi”.

Sulla retta reale, un intorno elementare di centro $x_0$ e raggio $\varepsilon\gt0$ è l’intervallo aperto:

I(x_0,\varepsilon) = (x_0-\varepsilon,\ x_0+\varepsilon).

In forma equivalente:

I(x_0,\varepsilon) = \{x\in\mathbb R:\lvert x-x_0\rvert\lt\varepsilon\}.

Il valore assoluto misura la distanza tra $x$ e $x_0$ . La condizione $\lvert x-x_0\rvert\lt\varepsilon$ dice quindi che $x$ deve stare entro una distanza minore di $\varepsilon$ dal punto centrale.

Intorno e palla aperta

In $\mathbb R^n$ , l’analogo naturale dell’intorno intervallare è una palla aperta:

B_\varepsilon(x_0) = \{x\in\mathbb R^n:\lVert x-x_0\rVert\lt\varepsilon\}.

Per questo, negli spazi metrici e normati, il termine “intorno” viene spesso usato per indicare qualunque insieme che contenga almeno una palla aperta centrata nel punto. Se $U$ è un intorno di $x_0$ , allora esiste un raggio $\varepsilon\gt0$ tale che:

B_\varepsilon(x_0)\subseteq U.

Questa formulazione è più flessibile: l’intorno non deve essere necessariamente una palla o un intervallo simmetrico; deve però contenere una regione aperta attorno al punto.

Intorno bucato

Un intorno bucato di $x_0$ è un intorno da cui si rimuove il punto centrale:

I^\ast(x_0,\varepsilon) = I(x_0,\varepsilon)\setminus\{x_0\}.

Serve quando si vuole studiare ciò che accade vicino a $x_0$ senza imporre nulla sul valore assunto esattamente in $x_0$ . È il caso tipico del limite di funzione:

\lim_{x\to x_0}f(x)=L.

La funzione può anche non essere definita in $x_0$ ; ciò che conta è il comportamento nei punti del dominio arbitrariamente vicini a $x_0$ .

Uso negli insiemi aperti

Gli intorni permettono di definire gli insiemi aperti. Un insieme $A\subseteq\mathbb R$ è aperto se ogni suo punto possiede un intorno interamente contenuto in $A$ :

\forall x\in A,\ \exists\varepsilon\gt0: I(x,\varepsilon)\subseteq A.

In parole: ogni punto di un aperto ha un margine di movimento, piccolo ma positivo, senza uscire dall’insieme.

Questa idea è alla base della topologia della retta e si estende alla topologia in $\mathbb R^n$ .

Uso nei punti di accumulazione

Un punto $x_0$ è un punto di accumulazione di un insieme $A$ se ogni intorno bucato di $x_0$ contiene almeno un punto di $A$ :

\forall\varepsilon\gt0,\quad I^\ast(x_0,\varepsilon)\cap A\ne\varnothing.

Questa definizione chiarisce perché un estremo escluso può essere comunque importante. Per esempio, $0$ non appartiene all’intervallo $(0,1)$ , ma ogni intorno di $0$ contiene punti di $(0,1)$ : quindi $0$ è un punto di accumulazione.

Errori comuni

Pensare che un intorno debba essere grande: il raggio può essere arbitrariamente piccolo, purché positivo.
Confondere intorno e punto: un intorno è un insieme di punti, non il solo punto centrale.
Dimenticare l’intorno bucato nei limiti: il limite ignora il valore esatto nel punto, se esiste.
Confondere intorno aperto e insieme qualunque vicino al punto: per essere un intorno deve contenere una regione aperta attorno al punto.
Usare $\varepsilon=0$ : un raggio nullo non produce un vero margine locale.

Vedi anche: intorni e topologia della retta, intervallo reale, palla aperta, insieme aperto e punto di accumulazione.